Über die Dimensionalität von Punktmengen. I. (Q1460164)

Die Untersuchungen des Verf. gehen aus von einer neuen Definition des Begriffs der Kurve, der einerseits solche Ausartungen wie die Peano-Kurve ausschließen, anderseits allgemeinere Gebilde als den Lennes-Bogen (N. J. Lennes, American J. 33, 1911) umfassen soll. Die neue Definition lautet: ``Ein Kontinuum \(K\) eines metrischen Raumes heißt Kurve, wenn für jeden Punkt \(k\) von \(K\) und zu jeder Umgebung \(U(k)\) eine Umgebung \(U'(k) \prec U(k)\) existiert, so daß der Durchschnitt von \(K\) mit der Begrenzung von \(U'(k)\) zusammenhanglos ist.'' Für diese Kurven stellt der Verf. folgende Eigenschaften fest: ``1. Die Kurvennatur ist invariant gegenüber eineindeutigen, stetigen Abbildungen. 2. Das Intervall des \(R_1\) und mithin jeder einfache, stetige Kurvenbogen (im Sinne von Lennes) ist eine Kurve. 3. Die Vereinigung abzählbar vieler Kurven ist, wenn sie ein kompaktes Kontinuum ist, eine Kurve. 4. Eine Kurve des \(R_n\) \((n > 1)\) enthält keinen inneren Punkt. 5. Im \(R_2\) sind die Kurven identisch mit den Kontinua ohne inneren Punkt. 6. Ein Kontinuum, das keine Kurve ist, enthält mehr höhere Punkte, als eine Kurve fassen kann.'' Es mag zweifelhaft erscheinen, ob man Kontinua von solcher Allgemeinheit wie 5. angibt (also z. B. die Begrenzung eines beliebigen Gebietes), als ``Kurve'' zu bezeichnen geneigt ist. Gewiß aber hat der Verf. eine treffende Charakterisierung der eindimensionalen Kontinua gegeben. Der Verf. benutzt dann auch den Grundgedanken seiner Definition, um die Dimension beliebiger Punktmengen folgendermaßen festzulegen: ``Eine Menge \(M\) eines metrischen Raumes heißt \(n\)-\textit{dimensional}, wenn \(n\) die kleinste Zahl von folgender Eigenschaft ist: für jeden Punkt \(m\) von \(M\) und zu jeder Umgebung \(U(m)\) existiert eine Umgebung \(U'(m) \prec U(m)\), so daß der Durchschnitt von \(M\) mit der Begrenzung von \(U'(m)\) höchstens \((n-1)\)-dimensional ist. Die leere Menge und nur diese ist \((-1)\)-dimensional und höchstens \((-1)\)-dimensional.'' Durch die Definition gelangt man zu dem auch anschaulichen Forderungen entsprechenden Ergebnis: ``Unter den kompakten, abgeschlossenen Mengen sind die \(0\)-dimensionalen identisch mit den zusammenhangslosen.'' -- Die vorliegende Arbeit ist unabhängig von den verwandten Definitionen und Resultaten entstanden, die P. Urysohn im September 1922 (C. R. 175, 440, 481) veröffentlicht hat.