Sur le problème de la mesure. (Q1460178)

In dieser bedeutsamen Arbeit werden einige bisher ungelöste Fragen erledigt. An Lebesgue anknüpfend, hat Hausdorff (Mengenlehre 401, 469; Math. Ann. 75, 428; F. d. M. 45,128,1914-15) das folgende ``verallgemeinerte Inhaltsproblem'' formuliert: Ist es möglich, jeder beschränkten Menge \(E\) eines \(n\)-dimensionalen Raumes als Inhalt eine nicht-negative Zahl \(m(E)\) zuzuordnen, so daß 1. \(m(E_0) = 1\) für den Einheitswürfel \(E_0\); 2. \(m(E_1) = m(E_2)\) für je zwei kongruente Mengen \(E_1\), \(E_2\); 3. \(m(E_1+E_2) = m(E_1) + m(E_2)\), wenn \(E_1\), \(E_2\) elementenfremd sind? Hausdorff hat diese Frage für die Kugeloberfläche und deshalb auch für \(n \geqq 3\) \textit{negativ} beantworten können; dagegen war die Frage für \(n = 1,2\) (Gerade und Ebene) unerledigt geblieben. (Für das ``engere Inhaltsproblem'', bei dem die Additivitätsforderung 3. auch für abzählbar unendlich viele Summanden gelten soll, ist nach Hausdorff für \textit{jedes} \(n\) die Antwort negativ.) Dem Verf. gelingt es hier nun, zu zeigen, daß für \(n = 1\) und 2 die Antwort auf das ``verallg. Inhaltsproblem'' \textit{positiv} ausfällt; d.h. er kann für die Gesamtheit \textit{aller} Punktmengen auf der Geraden bzw. in der Ebene Inhaltszahlen definieren, die den obigen Forderungen genügen; und zwar kann er es sowohl so einrichten, daß sich für alle nach Lebesgue meßbaren Mengen Übereinstimmung mit dem Lebesgueschen Maß ergibt, als auch so, daß für gewisse, nach Lebesgue meßbare Mengen Abweichungen vom Lebesgueschen Maß entstehen (womit zugleich für \(n = 1, 2\) eine Frage von S. Ruziewicz beantwortet wird). Alles Entsprechende wird für (einfache und doppelte) Integrale durchgeführt und damit zugleich die Antwort auf eine alte Frage von Lebesgue gewonnen. Bekanntlich hat Lebesgue in seinen Leçons sur l'intégration (1905, 98), sein Integral (für beschränkte Funktionen) durch sechs Eigenschaften definiert. Die ersten fünf derselben sind voneinander unabhängig; es war unentschieden geblieben, ob auch die sechste Eigenschaft (``Wenn die Folge \(f_n(x)\) monoton wachsend gegen \(f(x)\) konvergiert, so konvergiert das Integral von \(f_n(x)\) gegen das Integral von \(f(x)\)'') von den übrigen unabhängig ist. Der Nachweis dieser Unabhängigkeit wird hier erbracht und zugleich noch viel mehr: Es wird für die Gesamtheit aller beschränkten Funktionen \(f(x)\) ein den fünf ersten Forderungen genügendes Integral definiert, und zwar sowohl so, daß für die summierbaren Funktionen Übereinstimmung mit dem Lebesgueschen Integral herrscht, als auch so, daß für gewisse summierbare Funktionen Abweichungen vom Lebesgueschen Integral sich ergeben (wogegen für die nach Riemann integrierbaren Funktionen die Übereinstimmung erhalten bleibt). Die interessante Methode des Verf., die sich in kurzen Worten kaum schildern läßt, geht aus von einer Einteilung der Funktionen in Klassen ``äquivalenter'' Funktionen, von Körpern solcher Klassen und von additiven Operationen, die sich auf diese Klassen beziehen. (IV 3 C.)