Über Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern. (Q1460192)

Der Verf. wendet die in seiner Abhandlung ``Über Folgen linearer Operationen'' (Monatsh. f. Math. 32) entwickelte Theorie auf folgenden Fall an: \(a\) sei der Raum aller Zahlenfolgen \(a=\{u_k\}\) mit \(u_k\to 0\), die Maßbestimmung sei gegeben durch: \[ D(a)=\sum_{k=1}^\infty k|u_k-u_{k+1}|.\tag{0} \] Der polare Raum \({\mathfrak B}\) besteht aus den Zahlenfolgen \(b=\{v_k\}\) mit beschränkten arithmetischen Mitteln \(V_k=\dfrac 1k(v_1+\cdots+v_k)\) und der Maßbestimmung: \[ \varDelta(b)=\text{obere Schranke der}\;|V_k|. \] Für die Bilinearform \(U(a,\,b)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty u_k v_k\) gilt die ``fundamentale Ungleichung'': \[ |U(a,\,b)| \leqq D(a)\varDelta(b). \] Es ergibt sich der Satz: Damit die Reihe \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty u_k v_k\) konvergent sei für alle \(\{u_k\}\) mit \(u_k\to 0\), für die die Reihe (0) konvergiert, ist notwendig und hinreichend, daß die arithmetischen Mittel \(V_k\) beschränkt seien. Dieser Satz bleibt richtig, wenn man unter \(\{u_k\}\) nur monoton abnehmende Zahlenfolgen mit konvergenter Summe \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty u_k\) versteht. Darin ist u. a. folgender Satz von K. Knopp enthalten: Damit für alle konvergenten Reihen \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty u_k\) mit monoton abnehmenden Gliedern die Reihe \(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty (k_{\nu+1}-k_\nu)\,u_\nu\) konvergent ausfalle \((k_{\nu+1}>k_\nu)\), ist notwendig und hinreichend, daß die Quotienten \(k_{\nu+1}:k_\nu\) beschränkt seien. Nachfolgender Satz von A. Pringsheim ergibt sich als Spezialfall: Ist \(\displaystyle\varlimsup_{k\to\infty}\dfrac{v_k}{u_k}=+\,\infty\), so gibt es eine Reihe \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty u_k\) mit monoton abnehmenden Gliedern, für die \(\displaystyle\varlimsup_{k\to\infty}v_k u_k=+\,\infty\) ist. In Beantwortung einer Fragestellung von K. Knopp wird gezeigt, daß dieser Satz richtig bleibt, wenn von den \(u_k\) verlangt wird, daß sie \textit{vollmonoton} abnehmen. Ferner wird, gleichfalls nach Knopp gefragt, wie sich folgender Satz von Pringsheim auf vollmonoton abnehmende Folgen \(\{d_\nu\}\) überträgt: Zu jeder konvergenten Reihe \(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty c_\nu\) aus positiven Gliedern gibt es eine divergente Reihe \(\displaystyle\sum_{\nu=1}^\infty d_\nu\) aus positiven, monoton abnehmenden Gliedern, für die \[ \varliminf_{\nu\to\infty}\frac{d_\nu}{c_\nu}=0. \] Es wird gezeigt, daß hier die \(\{d_\nu\}\) auch vollmonoton gewählt werden können dann und nur dann, wenn für jedes positive \(q<1\): \[ \varlimsup_{\nu\to\infty}\frac{c_\nu}{q^\nu}=+\,\infty. \]