Neuere Untersuchungen in der Theorie der divergenten Reihen. (Q1460198)

In diesem ausführlichen Vortrag auf der Leipziger Tagung 1922 wird versucht, einen Überblick über den gegenwärtigen Stand der Theorie der divergenten Reihen zu geben. Da es sich um einen gedrängten Bericht handelt, der eine große Fülle von Tatsachen bringt, kann hier weniger sein Inhalt als sein Gedankengang im großen wiedergegeben werden. Die Grundfrage der Theorie der divergenten Reihen wird so gestellt: Eine Reihe mit konstanten Gliedern \(\sum a_n\) liegt vor, welche divergiert. Ist es möglich, ihr in vernünftiger Weise einen ``Wert'', eine ``Summe'' \(s\) zuzuordnen? -- Nach einer Erläuterung dessen, was man hier unter ``vernünftig'' zu verstehen hat, werden vier der bekanntesten Verfahren genauer beschrieben, das Cesàro-Höldersche, das Borelsche, das Abelsche und das Eulersche. Sie werden kurz als \(C\)-, \(B\)-, \(A\)- und \(E\)-Verfahren bezeichnet. Drei Fragenkomplexe sind es dann, über die genauer berichtet wird, 1. die Fragen, die sich auf eine detaillierte Untersuchung der einzelnen Verfahren (ihr Konvergenzfeld, ihre Konvergenzgüte, ihre Anwendungsfähigkeit und die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen) erstrecken, 2. die Fragen nach allgemeineren Gesichtspunkten, unter denen sich die verschiedenen Verfahren klassifizieren lassen, und 3. die Fragen nach wesentlich neuen Summierungs- bzw. Limitierungsverfahren. ad 1. Hier wird hauptsächlich über die Sätze berichtet, die sich auf die Ausdehnung des Konvergenzfeldes der Verfahren beziehen, und mehr noch über diejenigen, die sich auf die Scheidelinie zwischen Konvergenz und Divergenz bei den nach einem bestimmten Verfahren summierbaren Reihen beziehen, also die \(o\)-\(V\to K\)-Sätze und die \(O\)-\(V\to K\)-Sätze, wenn \(V\) eines der Summierungsverfahren bedeutet. Diese Sätze rühren größtenteils von Hardy und Littlewood her. ad 2. Hier wird der Gesichtspunkt in den Vordergrund gerückt, daß es sich bei allen Verfahren um eine Transformation der Folge der Teilsummen \(s_n\) handelt. Diese Transformationen sind von zweierlei Art. Bei der ersten wird aus der Folge \((s_n)\) vermöge einer Matrix \(T=(a_{kn})\) die neue \textit{Folge} \(s_k^\prime=\sum\limits_n a_{kn}s_n\) hergeleitet. Bei der zweiten wird aus der Folge \(s_n\) mit Hilfe einer Funktionenfolge \((\varphi(x))\) die Funktion \(F(x)=\sum s_n\varphi_n(x)\) angesetzt. Aus dem Verhalten von \(s_k^\prime\) für \(k\to\infty\) bzw. von \(F(x)\) für \(x\to\infty\) entnimmt man dann gegebenenfalls den verallgemeinerten Grenzwert der Folge \((s_n)\). Die Verfahren der ersten Art haben durch eine Arbeit von Hausdorff (Math. Zeitschr. 6, 74, 1921) eine bedeutende Förderung erhalten, über die an anderer Stelle der F. d. M. berichtet ist. ad 3. Hier wird hauptsächlich über das \(E\)-Verfahren genauer berichtet. Hierzu vergleiche man die beiden Arbeiten des Verf. über das Eulersche Summierungsverfahren, über die F. d. M. 48, 232 (JFM 48.0232.*), 1922, und im vorliegenden Band 49, 234 1923, berichtet ist. (IV 4.)