Analysis. Volume 1. Part one. Real and complex numbers. (Q1460256)

Die erste Auflage des von einem überlegenen Kenner des Gegenstandes mit der größten Sorgfalt und Konsequenz abgefaßten Werkes ist in den F. d. M. 46, 316 (JFM 46.0316.*), 1916-18 kurz besprochen worden. Außer dem vorliegenden ersten Teil sind mittlerweile (1915) der zweite Teil (unendliche Prozesse) sowie der dritte und der vierte Teil (Elementare Funktionen und Differentialrechnung) des ersten Bandes erschienen. Sollte der Verfasser alle Hauptteile der Analysis in seine Darstellung einbeziehen, über seine Absichten unterrichtet leider keinerlei Vorrede oder Einleitung, so würde die mathematische Literatur um ein Werk reicher sein, das den Vergleich mit den besten bekannten Handbüchern mit Ehren bestehen kann. Das, was jetzt vorliegt, ist eine wohldurchdachte, sehr übersichtliche, durchaus moderne und doch keinesfalls sich in Einzelheiten verlierende systematische Darstellung eines Teiles der s. g. ``algebraischen Analysis''. Dabei nirgends Sachen, die einem ganz und gar bekannt sind, nirgends Langeweile. Über den Inhalt des großzügigen Werkes unterrichtet die folgende Inhaltsübersicht: I. Kap. \S\S\ 1-8. Schnitte und Irrationalzahlen (S. 1-12). II. Kap. \S\S\ 9-17. Unendliche Folgen und ihre Grenzwerte (S. 13-36). III. Kap. \S\S\ 18-35. Die vier arithmetischen Operationen mit reellen Zahlen (S. 37-81). IV. Kap. \S\S\ 36-47. Potenzierung reeller Zahlen (S. 81-140). V. Kap. \S\S\ 48-52. Die Logarithmen (S. 140-156). VI. Kap. \S\S\ 53-58. Die grundlegenden Eigenschaften der Funktionen einer reellen Veränderlichen (S. 156-174). VII. Kap. \S\S\ 59-69. Theorie der komplexen Zahlen (S. 175-225). In dem vierten Kapitel finden wir im Einzelnen Ausführungen über die Potenz mit natürlichen Exponenten (\S\ 36), unendliche Folge \(x^n\) (\(n = 1, 2, \ldots\)) (\S\ 37), arithmetische Wurzel und ihre Berechnung (\S\S\ 38 und 39), Ungleichheiten für das arithmetische und geometrische Mittel (\S\ 40), Grenzwertsatz von Hardy-Landau (\S\ 40a), Funktionen einer reellen Veränderlichen. Stetigkeit (\S\ 41). Stetige Funktionen, die die Bedingung \(f(1) = a\) sowie \(f(x + y) = f(x)f(y)\) erfüllen (\S\ 42). Potenz mit rationalem Exponenten (\S\ 43). Potenz mit reellem Exponenten und ihre Eigenschaften (\S\S\ 44 und 45). Ungleichheiten für \((1 + d)^x\) (\S\ 46). Die Funktion \(e^x\) (\S\ 47). In dem VII. Kapitel findet sich u. a. ein sorgfältig durchgeführter Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Es ist an dieser Stelle ganz unmöglich, die Reichhaltigkeit des Inhalts und die Schönheit der mathematischen Durchführung der Bücher von Sierpiński mehr als anzudeuten. Dem Referenten war die Lektüre des Werkes ein hoher Genuß.