Über Bolzanos nichtdifferenzierbare stetige Funktion. (Q1460257)

Vor kurzem wurde die mathematische Welt durch die Nachricht in Erstaunen gesetzt (Sitzber. d. böhmischen Gesellsch. d. Wiss. vom 16. Dez. 1921, Mitteilung von Herrn Jašek), ``daß Bolzano schon vor dem Jahre 1834, also mehr als drei Jahrzehnte vor Weierstraß im Besitze eines ziemlich einfachen Verfahrens war, eine nirgends differentiierbare stetige Funktion zu konstruieren. Bolzano hat sich damit begnügt, das Fehlen der Ableitung für eine zwar überall dichte, jedoch nur abzählbare Menge von Stellen wirklich zu konstatieren. Rychlik hat aber an derselben Stelle (3. Febr. 1922) gezeigt, wie man diese Lücke ausfüllen kann. Verf. hat in den Leipz. Ber. (12. Juni 1922) ebenfalls zu Bolzanos bewundernswürdiger Leistung Stellung genommen und sein Verfahren geometrisch eingekleidet.'' Hier wird unter Hinweis auf die Möglichkeit einer Vereinfachung, die Bolzano selbst nicht gut entgangen sein konnte, das Verfahren auch analytisch näher charakterisiert und so der ursprüngliche Gedankengang des Meisters wohl ganz wiederhergestellt. Schreibt man: \[ x + iy = \left(\frac 34x+\frac 32 iy\right) + \left(\frac 14x-\frac 12 iy\right), \] so erscheint der ursprüngliche Vektor \(x+iy\) geometrisch aus zwei anderen von doppelt so großer Steigung zusammengesetzt; diese außerordentlich einfache erzeugende Operation wird an beiden Hälften einer gegebenen Strecke ausgeführt und durch unbegrenzte Wiederholung an den jeweilig neu entstehenden Strecken erhält man so in der Grenze die Bolzanosche Kurve. Die zunächst merkwürdig berührende Halbierung der Strecken rechtfertigt sich dann durch die so bewirkte Vereinfachung des Konvergenzbeweises. Verf. führt nun den Beweis der Nichtdifferentiierbarkeit der Grenzfunktion mit wenigen Strichen vollständig durch.