Démonstration du théorème de Riesz-Fischer et du théorème de Weyl sur les suites convergentes en moyenne. (Q1460294)

\(a\) sei eine positive Größe. Hat die Funktionenfolge \(f_n(x)\) die Eigenschaft \[ \lim_{m\to\infty, n\to\infty} \int_a^b |f_m - f_n|^a\,dx = 0, \] so gibt es eine Funktion \(f(x)\), für welche \[ \lim_{n\to\infty} \int_a^b |f - f_n|^a \, dx = 0. \] Aus der Folge \(f_n(x)\) lassen sich auf unendlich viele Arten Teilfolgen \(f_{n_p}(x)\) herauswählen, die fast überall in \((a, b)\) gegen \(f(x)\) konvergieren. Jede Partialfolge der Folge \(f_n(x)\), die auf einer Menge \(M\) von positivem Maße konvergiert, konvergiert gegen \(f(x)\) fast überall auf \(M\). Sind ferner die Integrale \(\int_a^b |f_n|^a \, dx\) endlich, so ist auch \(\int_a^b |f|^a \, dx\) endlich und \newline \(\lim_{n\to\infty} \int_a^b |f_n|^a \, dx = \int_a^b |f|^a \, dx\). Von diesem Satz, der zuerst von Weyl für \(a = 2\), dann allgemein von F. Riesz bewiesen worden ist, wird ein vereinfachter Beweis gegeben, der sich eng an einen früheren Beweis des Verf. anlehnt (Palermo Rend. 30, 289-335, 1910; F. d. M. 41, 472 (JFM 41.0472.*), 1910).