Momentprobleme für ein endliches Intervall. (Q1460300)

Verf. hat bereits bei anderer Gelegenheit [Math. Z. 9, 74--109, 280--299 (1921; JFM 48.2005.01; JFM 48.2005.02)] eine einfache neue Lösung des Momentproblems \[ \mu_k = \int_0^1 x^k \,d\chi (x); \quad k = 0, 1, 2, \dots, \] gegeben; hier wird jene Lösung noch einmal so abgeleitet, daß neben den früheren approximierenden Treppenfunktionen auch Polynomfolgen \(\to \chi(x)\) explizit aufgestellt werden, die schließlich die integrierte Legendresche Reihe der Belegungsfunktion \(\chi(x)\) ergeben. Die nun recht durchsichtige Lösung wird dann auch auf das klassische trigonometrische (Fouriersche) Momentproblem übertragen. \(\chi(x)\) wird in der Weise normiert, daß man \(\chi(0) = 0\), \(2\chi(x) = \chi(x+0) + \chi(x-0)\) festsetzt, wodurch die Lösung -- falls vorhanden -- eindeutig wird. Soll \(\chi(x)\) monoton ausfallen, so muß jedem in \((0, 1)\) nichtnegativen Polynom \(f(x) = a_0 + \cdots + a_n x^n\) auch ein nichtnegatives Moment \(Mf(x) = a_0\mu_0 + \cdots + a_n\mu_n\) entsprechen; speziell gilt dies für \[ \lambda_{p, m}(x) = \binom{p}{m} x^m (1-x)^{p-m}, \quad m \le p, \tag{1} \] \[ \lambda_{p, m} = M\lambda_{p, m}(x) = \binom{p}{m} \left[\mu_m \binom{p-m}{1} \mu_{m+1} + \cdots + (-1)^{p-m} \mu_p\right]; \] es erweist sich dann, daß die Forderung der ``totalen Monotonie'' für die Folge der \(\mu_p\): \[ \lambda_{p, m} \ge 0 \tag{2} \] für \(m \le p\); \(p = 0, 1, \ldots\) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines monotonen \(\chi(x)\) darstellt. Man setze dann allgemein: \[ \chi_p(0) = 0, \quad \chi_p(1) = \mu_0, \tag{3} \] \[ \chi_p(x-0) = \sum_{m < px} \lambda_{p, m}, \quad \chi_p(x+0) = \sum_{m \le px} \lambda_{p, m}, \] so lautet die Lösung: \[ \chi(x) = \lim_{p\to\infty} \chi_p(x). \tag{4} \] Setzt man ferner: \[ \chi_p^*(x) = \int_0^x (p +1) \sum_{m=0}^p \lambda_{p, m} \lambda_{p, m}(x)\,dx, \] so gilt auch mit diesen Polynomen: \[ \chi(x) = \lim_{p\to\infty} \chi_p^*(x); \tag{5} \] es entspricht dies der Darstellung von \(\chi(x)\) durch eine integrierte Legendresche Reihe \[ \chi(x) = \lambda_0 \int_0^x L_0(x)\, dx + 3\lambda_1 \int_0^x L_1(x)\,dx + 5\lambda_2 \int_0^x L_2(x)\, dx + \cdots; \tag{6} \] \[ L_p(x) = \frac{1}{p!} \frac{d^p}{dx^p} [x(x-1)]^p = P_p(2x - 1); \quad \lambda_p = ML_p(x), \] immer unter Voraussetzung von (2). Soll \(\chi(x)\) nur von beschränkter Schwankung sein, so hat man als hinreichende und notwendige Bedingung: \[ \sum_{m=0}^p |\lambda_{p, m}| \le L < \infty; \tag{7} \] bestimmt man, wie vorhin, die zu \[ \lambda_{p, m}^{\text I} = \tfrac12 |\lambda_{p, m}| + \tfrac12 \lambda_{p, m}, \quad \lambda_{p, m}^{\text{II}} = \tfrac12 |\lambda_{p, m}| - \tfrac12 \lambda_{p, m} \tag{8} \] gehörenden Treppenfunktionen \(\chi_p^{\text I}(x)\), \(\chi_p^{\text{II}}(x)\), so erhält man die Lösung \[ \chi(x) = \chi^{\text I}(x) - \chi^{\text{II}}(x). \tag{9} \] Besonders wichtig ist die Forderung: \[ \chi(x) = \int_0^x \varphi(x)\,dx; \tag{10} \] damit die Dichtigkeitsfunktion \(\varphi(x)\) beschränkt ausfällt, ist notwendig und hinreichend, daß man stets habe \[ (p + 1) |\lambda_{p, m}| \le L_* < \infty; \tag{11} \] damit \(\varphi(x)\) in der \(a\)-ten Potenz \((a > 1)\) integrierbar sei, muß \[ (p + 1)^{a-1} \sum_{m=0}^p |\lambda_{p, m}|^a \le L^a < \infty \tag{\(11^*\)} \] sein; eine kompliziertere Bedingung für \(a = 1\) läßt sich ebenfalls explizit angeben. Die Übertragung aller Resultate auf das Fouriersche Problem erfolgt ohne Schwierigkeiten. Die in den angegebenen Kriterien auftretenden Summen lassen sich in einfacher Weise durch Integrale ersetzten. Ferner lassen sich alle so für die Fourierreihen gewonnenen Kriterien direkt auf Potenzreihen übertragen.