Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. (Q1460306)

Es sei \(f(t)\) eine reelle oder komplexe, im Intervall \([0, 2\pi]\) \(L\)-integrierbare Funktion mit den Fourierkonstanten \[ a_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-ikt} \, dt \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots ). \] Ferner werde bei \[ \alpha > 0, \quad \beta > 0 \,\,\text{ und }\,\, \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 \quad (\text{ also }\alpha > 1, \beta > 1) \] gesetzt \[ S_\alpha = \left[\sum_{-\infty}^\infty |a_k|^\alpha \right]^{1/\alpha}, \quad J_\beta = \left[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(t)|^\beta \, dt\right]^{1/\beta}. \] Dann beweist Verf. die folgenden beiden Sätze: I. Ist \(\alpha \leqq \beta\) und \(\sum |a_k|^\alpha\) konvergent, so sind die \(a_k\) die Fourierkonstanten einer Funktion \(f(t)\) mit integrierbarem \(|f(t)|^\beta\), und man hat \[ J_\beta \leqq S_\alpha. \] II. Ist \(\beta \leqq \alpha\) und \(|f(t)|^\beta\) integrabel, so ist \(\sum |a_k|^\alpha\) konvergent, und man hat \[ S_\alpha \leqq J_\beta. \] Für \(\alpha = \beta = 2\) bilden diese beiden Sätze zusammengenommen den Riesz-Fischerschen Satz, während sie sich für \(\beta\) bzw. \(\alpha = 4, 6, 8, \dots\) und entsprechend \(\alpha\) bzw. \(\beta = \dfrac 43, \dfrac 65, \dfrac 87, \dots\) (in etwas anderer Form) bei W. H. Young finden [C. R. 155 (1912), 30-33 und 472-475].