A theorem concerning Fourier series. (Q1460308)

\textit{Satz} 1. Ist \(s_\nu\) in einem gegebenen Punkte \(x\) die Summe der ersten \(2\nu + 1\) Glieder der Fourierreihe einer \(L\)-integrierbaren Funktion \(f\) und , bei \(\delta \to 0\), \[ \int_0^\delta |f(x + t) + f(x - t) - 2f(x)| \,dt = o(\delta), \] \[ \int_0^\delta |f(x + t) + f(x - t) - 2f(x)|^2 \,dt = O(\delta), \] so ist, für jedes positive \(k\), \[ \lim_{n = \infty} \frac{1}{n + 1}\, \sum_{\nu=0}^n |s_\nu - f(x)|^k = 0. \] \textit{Satz} 2. Unter denselben Voraussetzungen ist, für jeden Wert von \(a\), \[ \lim_{n=\infty} \frac{1}{n + 1} \, \sum_{\nu = 0}^n e^{a |s_\nu - f(x)|}= 1 \] \textit{Zusätze}. Bei quadratisch \(L\)-integrierbarem \(f\) sind die Voraussetzungen beider Sätze fast überall erfüllt. Aus Satz 2 folgt dann speziell ein Resultat von Hardy [Proc. Lond. math. Soc. (2) 12 (1913), 365], wonach fast überall \(s_n = o(\log n)\).