Note on a paper of M. Banach. (Q1460341)

St. Banach hat in seiner Dissertation ``Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales'' (Fundamenta math. 3, 133, 1922) abstrakte ``Vektor''-Felder axiomatisch definiert und Funktionen und Operationen in ihnen untersucht. Daran anknüpfend, weist Verf. (der selbst, wie er angibt, fast gleichzeitig mit Banach ein verwandtes System von Postulaten aufgestellt hat: C. R. Strasbourg Congrès 1920; Lond. M. S. Proc. (2) 20, 332, 1922) darauf hin, daß sich in analoger Weise auch \textit{komplexe} ``Vektor''-Felder \((C)\) definieren lassen; und er zeigt, wie man für Funktionen \(F(z)\), deren Argumente komplexe Zahlen sind und deren Werte einem \((C)\) angehören, Kurvenintegrale definieren und den Cauchyschen Integralsatz sowie andere funktionentheoretische Sätze erhalten kann. Wenn speziell \((C)\) die Menge der komplexwertigen stetigen Funktionen in \((0, 1)\) ist und ihre ``Norm'' \(\|f(x)\| = \max |f (x)|\) gesetzt wird, so erhält man die von Bôcher (Annals of Math. (2) 12, 18; F. d. M. 41, 485 (JFM 41.0485.*), 1910) untersuchten ``semi-analytischen'' Funktionen. Verf. selbst betrachtet noch genauer den Fall, wo \((C)\) dargestellt wird durch die Menge der komplexwertigen, quadratisch summierbaren Funktionen in \((0, 1)\) mit \[ \|f(x)\| = \left\{\int_0^1 |f(x)|^2 \,dx\right\}^{\frac 12}. \]