On a remarkable class of entire functions. (Q1460350)

Im Anschluß an Arbeiten von Petrowitsch (s. F. d. M. 40, 460 (JFM 40.0460.*), 1909) und von Hardy (s. F. d. M. 35, 416 (JFM 35.0416.*), 1904) werden ganze Funktionen \(f(x) = \sum a_n x^n\) betrachtet, für die \(a_0 = 1\) und \(a_n = \dfrac{1}{b_1b_2\dots b_n}\) für \(n \geqq 1\) ist. Hierbei sollen die \(b_n\) positiv sein und für ein positives \(\alpha\) der Bedingung \(b_n \geqq \alpha b_{n-1}\) genügen \((n \geqq 2)\). Das Problem lautet: Unter welchen Bedingungen haben nun \(f(x)\) und alle Teilstücke \(a_m x^m + \cdots + a_n x^n\) \((0 \leqq m < n)\) lauter reelle, einfache, negative Wurzeln? Das überraschende Ergebnis lautet, daß \(\alpha = 4\) die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist. In diesem Falle liegt dann in den Intervallen \[ 0, \quad -\sqrt{b_1 b_2}, \quad -\sqrt{b_2 b_3}, \dots, -\sqrt{b_n b_{n+1}} \] je eine einfache Wurzel des \(n\)-ten Abschnitts von \((x)\).