Sur un théorème de M. Hadamard. (Q1460369)

Der Hadamardsche Dreikreisesatz wird auf analytische Funktionen von zwei Variablen ausgedehnt und es werden Anwendungen desselben auf die Wachstumseigenschaften der ganzen Funktionen von zwei Variablen gemacht, die zum Teil eine Verschärfung der Ergebnisse von Sire (F. d. M. 44, 444 (JFM 44.0444.*), 1911) darstellen: Der Dreikreieesatz lautet hier so: \(f(z_1, z_2)\) sei eine ganze transzendente Funktion. Es sei \(|z_1| = r_1\), \(|z_2| = r_2\), \(\varrho_1 = \log r_1\), \(\varrho_2 = \log r_2\), \(\mu(\varrho_1, \varrho_2) = \log M(r_1, r_2)\), wo \[ M(r_1, r_2) = \underset{{|z_1| = r_1}\atop{|z_2| = r_2}} {\text{Max}} |f(z_1, z_2)|. \] Dann ist \[ \mu(\varrho_1^\prime, \varrho_2^\prime)(\varrho_1^{\prime\prime} - \varrho_1) \leqq \mu(\varrho_1, \varrho_2)(\varrho_1^{\prime\prime} - \varrho_1^\prime) + \mu(\varrho_1^{\prime\prime}, \varrho_2^{\prime\prime})(\varrho_1^\prime \varrho_1), \] wofern die drei Punkte \((r_1, r_2)\), \((r_1^\prime, r_2^\prime)\), \((r_1^{\prime\prime}, r_2^{\prime\prime})\) in gerader Linie liegen und der mittlere zwischen den beiden anderen liegt. Wir drücken das kurz aus, indem wir sagen, die Fläche \(\varrho_3 = \mu(\varrho_1, \varrho_2)\) sei \textit{halbkonvex}. Die Frage nach dem Bestehen des Gleichheitszeichens ist hier noch nicht geklärt. Jedenfalls gilt es bei \[ f(z_1, z_2) = \exp (z_1^\alpha \, z_2^\beta). \] An Folgerungen seien einige hervorgehoben. 1. Beweis eines Satzes von Sire: Ist \(g(r_1, r_2)\) eine ganze Funktion der positiven Veränderlichen \(r_1\), \(r_2\) mit nicht negativen Koeffizienten und ist \[ g(r_1, r_2) = \sum A_n(r_2) r_1^n, \] so gilt für jedes feste Paar \(r_2\), \(r_2^\prime\) \[ \lim_{n\to\infty} \frac{A_n(r_2)}{A_n(r_2^\prime)} = 1. \] 2. Für jedes feste \(b\) ist \[ \lim_{r\to\infty} \frac{\log M(r, b)}{\log M(r^{1 + \eta(r)}, 1)} = 1, \] wo \(\eta(r)\) eine passende mit \(\dfrac{1}{r}\) nach 0 strebende Funktion ist. Daraus ergibt sich z. B. für Funktionen endlicher Ordnung, daß die Ordnung von \(M(r, r)\) höchstens gleich der Summe der Ordnung von \(M(r, 1)\) und \(M(1, r)\) ist. 3. Seien nun \(M (r, 1)\) und \(M (1, r)\) von den Ordnungen \(\sigma\) und \(\sigma_1\), wo \(\sigma \geqq 0\), \(\sigma_1 \geqq 0\) und \(\sigma + \sigma_1 > 0\) sei. \(\sigma(\varkappa)\) sei die Ordnung von \(M (r, \varkappa r)\). Dann ist \(\sigma(\varkappa)\) eine halbkonvexe Funktion von \(\varkappa\). Es handelt sich dann weiter um die Ermittelung von \(M(r_1, r_2)\) für den Fall einer gegebenen Taylorentwicklung \[ f(z_1, z_2) = \sum C_{n, p}z_1^n z_2^p. \] Es sei \(m(r_1, r_2)\) das Maximum von \[ \left|C_{n, p}\right| r_1^n r_2^p \] bei festen \(r_1\) und \(r_2\) und variablen \(n\) und \(p\), ferner \(n(r_1, r_2)\) und \(p(r_1, r_2)\) die Werte der diese Maximalglieder liefernden Exponenten, weiter \[ N(x, \varkappa) = n(x, \varkappa x) + p(x, \varkappa x). \] 4. Dann ist \[ \log M(r_1, r_2) < \log m(r_1, r_2) + 2 \log N \left[r_1 + \frac{r_1}{N(r_1)}\right] + \log 2, \] wo \(N(x) = N\left(x, \frac{r_2}{r_1}\right)\). Die Arbeit schließt mit einigen Andeutungen über die Frage, wie die \(|C_{n, p}|\) beschaffen sein müssen, um annähernd ein gegebenes \(M(r_1, r_2)\) zu liefern.