Sur les séries de Taylor qui ont des lacunes. (Q1460379)

Die Noten bringen mit knappen Andeutungen der Beweise eine Reihe von Sätzen über den Einfluß von ''Lücken'' in der Reihe der Koeffizienten einer Potenzreihe \(f (z) = \sum a_nz^n\) mit positivem endlichem Konvergenzradius auf den analytischen Charakter von \(f(z)\). Setzt man die Reihe in der Form an \(\sum a_{\nu}z^{\lambda_\nu}\), \(\lambda_1<\lambda_2<\cdots\), so zeigt der Verf.: 1. Aus \(\varlimsup (\lambda_{\nu+1}-\lambda_{\nu})\geqq k\) (\(k\) ganz) folgt, daß auf dem Konvergenzkreise mindestens \(k+1\) Pole oder eine nichtpolare Singularität liegen. 2. Läßt sich die Reihe \(\sum x^{\lambda_{\nu}}\) durch geeignete Auffüllung der Lücken zu einer Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1 ergänzen, die in \(z=1\) regulär ist, so hat für jede Wahl der Koeffizienten \(a_{\nu}\) die Potenzreihe \(\sum a_{\nu}z^{\lambda_\nu}\) auf dem Konvergenzkreise wenigstens zwei Singularitäten, sofern der Konvergenzradius endlich und von 0 verschieden bleibt. 3. Es sei \(p_1, p_2, \ldots\) eine unendliche Folge von Primzahlen und die Folge ganzer positiver Zahlen \(\lambda_1<\lambda_2<\cdots\) möge zu jedem \(p_k\) nur endlich viele Vielfache von \(p_k\) enthalten. Dann hat jede Potenzreihe \(\sum a_{\nu}z^{\lambda_\nu}\) mit dem Konvergenzradius 1 auf ihrem Konvergenzkreise eine irreduzible Singularitätenmenge. 4. Stellen die Zahlenfolgen \((\lambda_\nu)\), \((\lambda_{\nu}^{\prime})\) in ihrer Gesamtheit die Folge aller natürlichen Zahlen dar, und gibt es eine Potenzreihe \(\sum a_\nu z^{\lambda_\nu}\), die auf ihrem Konvergenzkreise nur eine Singularität hat, so kann keine der Potenzreihen \(\sum b_{\nu}z^{\lambda_\nu^{\prime}}\) auf ihrem Konvergenzkreise Pole mit eingliedrigem Hauptteil \(\dfrac{A}{(z-z_0)^b}\) besitzen. -Ferner einige Einzelheiten von geringerem Interesse.