Sur les séries de Taylor qui présentent des lacunes. (Q1460395)

Aus dem Ideenkreis des Fabryschen Lückensatzes und unter hauptsächlicher Benutzung von Hilfsmitteln, die von Hadamard, Pólya und Ostrowski herrühren, werden die folgenden Sätze aufgestellt und bewiesen: 1. Es sei die lückenhafte Taylorsche Reihe \(f(x) = \sum\limits_{1}^{\infty} a_nx^{\lambda_n}\) mit einem endlichen Konvergenzkreis gegeben, wobei für eine Teilfolge \(\lambda_{n_k}\); \(k = 1, 2, \ldots\) noch \[ \lim (\lambda_{n_{k+1}}-\lambda_{n_k})=\infty \tag{1} \] gilt; dann besitzt \(f(x)\) auf dem Konvergenzkreis mindestens einen wesentlich singulären Punkt. 2. Weiß man statt (1) für eine Teilfolge \(\lambda_{n_k}\) nur; \[ \lambda_{n_{k+1}}-\lambda_{n_k}>m \tag{2} \] mit natürlichem \(m\), so besitzt \(f(x)\) auf dem Konvergenzkreise entweder mindestens einen wesentlich singulären Punkt oder mindestens \(m+1\) Pole. 3. Es möge \(f(x) = \sum\limits_{1}^{\infty} a_nx^{\lambda_n}\) auf dem Konvergenzkreise nur einen einzigen singulären Punkt besitzen, \(\lambda_n^{\prime}\) seien die in \(f(x)\) nicht auftretenden Koeffizienten, \(b_n\) beliebig; dann besitzt \(g(x)=\sum\limits_{1}^{\infty} b_n x^{\lambda^{\prime}_n}\) auf dem Konvergenzkreis keine einfachen Pole. 4. Besteht für eine Teilfolge \(\lambda_{n_k}\) die Bedingung \[ \lim \lambda_{n_{k+1}} : \lambda_{n_k} = \infty, \tag{3} \] so bilden die Singularitäten von \(f(x)\) nicht beschränkte Kontinuen. 5. Es möge \[ h(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{\lambda_n} \tag{4} \] so beschaffen sein, daß eine Ergänzung der Lücken mit beliebigen Koeffizienten existiert, bei der der Einheitskreis Konvergenzkreis bleibt, der Punkt \(+1\) aber regulär wird; dann besitzt eine Funktion \[ \psi(x) =\sum_{1}^{\infty}a_nx^{\lambda_n}, \tag{5} \] mit beliebigen \(a_n\), auf ihrem Konvergenzkreise mindestens zwei singuläre Punkte. 6. Es mögen unter den \(\lambda_n\) der Sätze 1--4 nur je endlich viele Vielfache von Primzahlen \(p_m\) einer gegebenen Folge vorkommen; dann besitzt \(f(x)\) auf seinem Konvergenzkreise eine nichtreduzierbare Menge von Singularitäten (eine Punktmenge heißt bekanntlich reduziert, wenn irgendeine ihrer Ableitungen leer ist). 7. Es habe \(F(x) =\sum a_nx^n\) einen endlichen Konvergenzkreis, \(\varphi\) sei eine nichtabzählbare Wertemenge im Intervall \(0\ldots 2\pi\), für eine Folge \(\lambda_{n_k}\) gelte (1); man kann aus den Werten \(\varphi\) stets mindestens einen, \(\varphi_0\), so bestimmen, daß für \(F^*(x) =\sum a_n^* x^n\), \(a_n^* = a_n\) für \(n\neq \lambda_{n_k}\), \(a_n^*=a_ne^{i\varphi_0}\) für \(n = \lambda_{n_k}\) der gleiche Konvergenzkreis eine natürliche Grenze bildet. Insbesondere kann bei 7. die Vorzeichenänderung (\(\varphi_0\pi\)) einer passenden Teilfolge stets so vorgenommen werden, daß auf dem Konvergenzkreis eine beliebig vorgeschriebene abgeschlossene Menge von singulären Punkten entsteht. Wegen einiger weiteren verwandten Sätze sei auf die Abhandlung selbst verwiesen.