On Lindelöf's hypothesis concerning the Riemann zetafunction. (Q1460397)

Die Lindelöfsche Vermutung besteht in der Gleichung \[ \zeta(\tfrac12+it)=O(|t|^{\varepsilon}) \tag{\text{A}} \] für jedes positive \(\varepsilon\). Oder auch \[ \zeta(\sigma+it) = O(|t|^{\varepsilon}) \tag{\text{B}} \] fur \(\sigma>\frac12(B_1)\), für \(\sigma\geqq\frac12(B_2)\), oder gleichmäßig für \(\sigma\geqq\frac12(B_3)\). \(B_1,B_2,B_3\) sind miteinander äquivalent. Die Riemannsche Vermutung enthält die Lindelöfsche (vgl. T. E. Littlewood, C. R. 154, 263, 1912). Die Verf. zählen eine Reihe von Aussagen \((A)\) bis \((H)\) auf, die miteinander und mit der Lindelöfschen Vermutung äquivalent sind. \((C)\) besagt: \[ \frac1T\int_1^T|\zeta(\tfrac12+it)|^{2k}dt=O(T^{\varepsilon}) \] für jedes positive ganze k. \((D)\) und \((E)\) sind ähnlich. \((F)\), \((G)\), \((H)\) enthalten das Piltzsche Fehlerglied \(\varDelta_k(n)\). Z. B. ist \((F)\): \[ \varDelta_k(n)=O(n^{\frac12+\varepsilon}) \] für jedes \(k\) und jedes positive \(\varepsilon\). Es wird von der Tatsache Gebrauch gemacht, daß man Konstante \(a, b,\ldots h,l\) so wählen kann, daß \(\varphi_k\) eine ganze Funktion von \(s\) ist und \[ \varphi_k-[\zeta(s)]^k=l\zeta+h\zeta'+g\zeta''+\cdots+a\zeta^{(k-1)} \] gilt. Wenn die zu \(\varphi_k\) gehörige Dirichletsche Reihe \(\sum b_n n^{-s}\) ist, gilt: \[ \varDelta_k(n)=\sum_{m\leqq n}b_m. \] (II 8.)