Über die Lösungen der Riemannschen Funktionalgleichung. (Q1460400)

Nachdem Hamburger (Math. Ztschr. 10, 240-254; 1921) die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion durch einige sehr allgemein gehaltene Bedingungen charakterisiert hat, wobei u. a. verlangt wird, daß neben der untersuchten Funktion \(f(s)\) auch die mit ihr assoziierte Funktion \(g(s)\), die durch die Gleichung definiert ist: \[ g(1-s)=\frac{2}{(2\pi)^s}\cos\frac{\pi s}2\varGamma(s)f(s) \tag{1} \] in eine irgendwo absolut konvergente gewöhnliche Dirichletsche Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n n^{-s}\) entwickelbar sei, wird hier ein besonders einfacher Beweis für den gleichen Tatbestand gegeben, der den Vorzug hat, auch auf andere zahlentheoretische Probleme anwendbar zu sein. Die Koeffizienten \(b\) werden in bekannter Weise durch Integrale über \(g(s)\) ausgedrückt und der Integrationsweg in der \(s\)-Ebene alsdann so weit verschoben, daß in (1) nunmehr \(f(s)\) durch die entsprechende Dirichletsche Reihe ersetzt werden darf; natürlich sind bei der fraglichen Verschiebung etwa auftretende Residuen zu berücksichtigen; zwecks Vermeidung von nur bedingt konvergenten Entwicklungen werden statt der Summen \(\sum\limits_{n\leqq x} b_n\) die integrierten \(\sum\limits_{n\leqq x}b_n(x-n)\) betrachtet. Bei anderen der gleichen Methode zugänglichen Problemen geht man eventuell noch höher hinauf, z. B. beim Dirichletschen Teilerproblem, wo man dann eine einfache Integraldarstellung für \(\sum d(n)(x-n)^2\) erhält, die durch Verschiebung des Integrationsweges unmittelbar die entsprechenden Hardy-Landauschen Formeln liefert; das gleiche gilt für das Ellipsenproblem, auch wird die \(\zeta\)-Funktion des Körpers \(k(\sqrt3)\) ebenso behandelt; eine Anwendung auf \(\dfrac 1{\zeta(s)}\), wo die Nullstellen der \(\zeta\)-Funktionen dann die bekannten Schwierigkeiten bieten, ist ebenso möglich. Die Methode berührt sich in manchen Punkten mit einer allgemeinen Landauschen (Gött. Nachr. 1912), die ebenfalls überall da anwendbar ist, wo eine Funktionalgleichung vom Riemannschen Typus besteht.