Sur les suites infinies de fonctions et les fonctions méromorphes à valeurs asymptotiques. (Q1460407)

Ist eine Folge \(f_n\) von in einem beschränkten zusammenhängenden Gebiet \(D\) regulären Funktionen gegeben, die auf einer Menge \(\omega\) innerer Punkte von \(D\) gegen eine in \(D\) reguläre Funktion \(f\) konvergiert, so kann man fragen, wann die relativen Größenordnungen der Zahlen \(M_n-\operatornamewithlimits{Max}\limits_{z \text{ in } D}|f_n-f|\), \(m_n=\operatornamewithlimits{Max}\limits_{z \text{ auf } \omega} |f_n-f|\) auf die gleichmäßige Konvergenz von \(f_n\) gegen \(f\) in \(D\) zu schließen gestatten. In Verallgemeinerung eines Satzes aus der Abhandlung des Referenten (Hamb. Math. Abh. l, 327) beweist der Verf. zwei diesbezügliche Sätze, die gelten, wenn \(\omega\) ein Jordanscher Kurvenbogen bzw. eine geeignet rasch gegen eine Häufungsstelle konvergierende Punktmenge ist. -- Allerdings ist der auf den Fall eines Kurvenbogens bezügliche Satz bereits in der obigen Abhandlung des Referenten angegeben und in einer Mitteilung in den Szegeder Acta, 1, 2. Heft (22. III. 1923) in schärferer Form bewiesen worden. -- Von diesen Sätzen macht der Verf. Anwendungen auf Fragestellungen des Picardschen Ideenkreises und gelangt insbesondere zu dem folgenden Satz: Ist die Funktion \(\varphi(z)\) meromorph und hat sie den asymptotischen Wert 0, dem sie auf einem Wege \(\omega\) zustrebt, so sei \(\mu(r)\) eine mit \(r\) ins Unendliche wachsende Funktion, die weniger stark wächst als \(\dfrac 1{|\varphi(z)|}\) (\(|z|=r\)) auf \(\omega\). Man setze \[ A(r)= (\log \mu(r))^{\frac 1{12}},\quad q(r)=\frac 1{15}\log\log \mu(r) \] und betrachte den Kreisring mit dem Mittelkreis \(|z|= r\) und der Breite \(\dfrac{2\pi r}{q(r)}\). Dann gilt: 1. entweder ist auf dem Mittelkreise durchweg \[ \log|\varphi(z)|< - (\log \mu(r))^{\frac23}; \] 2. oder \(\varphi(z)\) nimmt in einem ganz im Kreisring liegenden Kreise alle Werte an, bis eventuell auf Werte, die innerhalb einer Kreisscheibe vom Radius \(\dfrac 3{A(r)}\) oder außerhalb des Kreises \(|z|= A(r)\) liegen; 3. oder \(\varphi(z)\) nimmt in einem ganz \textit{im} Kreisring liegenden Kreise alle Werte an, bis eventuell auf gewisse Werte, die innerhalb zweier Kreisscheiben vom Radius \(\dfrac 3{A(r)}\) liegen.