Sur la dérivation et l'intégration généralisées. (Q1460414)

Die zweite Arbeit enthält die ausführliche Begründung der in der ersten Arbeit angekündigten Sätze. Im ersten Teil werden die Haupteigenschaften der von Riemann gegebenen Verallgemeinerung des Integrales und der Ableitung nichtganzzahliger Ordnung bewiesen. Anwendung auf die charakteristische Funktion \(\varphi(z)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{izx}dF(x)\) der Wahrscheinlichkeitsrechnung, indem aus dem Verhalten von \(dF(x)\) für \(x\to\infty, -\infty\) Schlüsse gezogen werden können über das Verhalten von \(\varphi(z)\) für \(z\to 0\). Im zweiten Teil wird eine Verallgemeinerung der Riemannschen Definition erläutert, die Verf. für die Anwendungen wesentlich spezialisiert. Es sei \[ J_z^{\alpha} [f(z)]= \int_{-\infty}^z \frac{(z-u)^{\alpha-1}}{\varGamma(\alpha)}f(u)du\qquad (\alpha>0.) \] Ist \(f(z)\) stetig und im Unendlichen stärker Null als jede positive Potenz von \(\dfrac 1z\), so gilt \[ J_z^{\alpha'}J_z^{\alpha}[f(z)]=J_z^{\alpha+\alpha'}[f(z)], \;J_z^{\alpha}[f(z)]=\frac{d^n}{dz^n}J^{\alpha+n}[f(z)] \qquad (n \;\text{ganz}, \;n\geqq 0). \] Ist jetzt \(\alpha\) von beliebigem Vorzeichen und die ganze Zahl \(n\geqq 0\) und \(\geqq\alpha\), so wird gesetzt \[ \varDelta_z^{\alpha}[f(z)]=J_z^{-\alpha}[f(z)]= \frac{d^n}{dz^n}J_z^{n-\alpha}[f(z)]. \] Insbesondere ist \[ \varDelta_z^{\alpha}[x^z]=z^z(\log x)^{\alpha} \qquad (x>1). \] Unter Ableitung \(D_z^{(\alpha,\beta,\gamma)}\) oder \(I_z^{(-\alpha,-\beta,-\gamma)}\) von \(f(z)\) in bezug auf \(z\)--Ableitung der Ordnung \((\alpha, \beta, \gamma)\) -- wird der Ausdruck \[ I_z^{(-\alpha,-\beta,-\gamma)}[f(z)]=D_z^{(\alpha,\beta,\gamma)}[f(z)]= \varDelta_{\beta}^{\gamma}\varDelta_{\alpha}^{\beta} D_z^{\alpha} f(z) \] verstanden, in welchem \(D_z^{\alpha}\) die Riemannsche Ableitung der Ordnung \(\alpha\) bedeutet. Sind also \(\alpha,\beta,\gamma\) negativ, so ist \[ I_z^{(-\alpha,-\beta,-\gamma)}= \int_{-\infty}^{\beta}\frac{(\beta-\beta')^{-\gamma-1}} {\varGamma(-\gamma)}d\beta' \int_{-\infty}^{\alpha}\frac{(\alpha-\alpha')^{-\beta'-1}} {\varGamma(-\beta')}d\alpha' \int_{0}^{z}\frac{(z-u)^{-\alpha'-1}}{\varGamma(-\alpha')}f(u)du. \] Es gilt \[ D_z^{(\alpha',\beta',\gamma')}D_z^{(\alpha,\beta,\gamma)}[f(z)]= D_z^{(\alpha+\alpha',\beta+\beta',\gamma+\gamma')}[f(z)] \] und , wenn \(l, m, n\) ganze nicht negative Zahlen sind, \[ D_z^{(\alpha,\beta,\gamma)}[f(z)]=\frac{\partial^{l+m+n}} {\partial z^l\partial\alpha^m\partial\beta^n} D_z^{(\alpha-l,\beta-m,\gamma-n)}[f(z)]. \] Die Ordnung \((\alpha,\beta,\gamma)\) heißt größer als die Ordnung \((\alpha',\beta',\gamma')\), wenn \(\alpha > \alpha'\) oder \(\alpha=\alpha'\), \(\beta> \beta'\) oder \(\alpha=\alpha'\), \(\beta=\beta'\), \(\gamma>\gamma'\). Versteht man dann unter \(z^{(\alpha,\beta,\gamma)}\) den Ausdruck \(z^{\alpha}(\log z)^{\beta}(\log \log z)^{\gamma}\), so besteht der Satz: Wenn \((\alpha,\beta,\gamma)\) und \((l+1,m,n)\) größer sind als \((0,1,1)\) und wenn der asymptotische Wert von \(f(z)\) für \(z\to 0\) durch \(\dfrac{cz^{(l,m,n)}}{\varGamma(l+1)}\) gegeben ist, dann ist \(\dfrac{cz^{(\alpha+l,\beta+m,\gamma+n)}}{\varGamma(\alpha+1)}\) der asymptotische Wert von \(I_z^{(\alpha,\beta,\gamma)}[f(z)]\). Daraus folgt insbesondere: Wenn die Ableitung der Ordnung \((\alpha,\beta,\gamma)\) von \(f(z)\) für \(z\to 0\) einen Grenzwert \(c\neq 0\) hat und wenn die Ableitungen geringerer Ordnung endlich bleiben, so ist \(f(z)\) asymptotisch gleich \(\dfrac{cz^{(\alpha,\beta,\gamma)}}{\varGamma(\alpha+1)}\). (IV 7.)