Über eine Extremalaufgabe aus der Theorie der schlichten Abbildungen. (Q1460420)

Bekanntlich kann in dem Bildgebiet \(\mathfrak G\) des Einheitskreises \(|z| < 1\) bei der schlichten Abbildung \[ w = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots \tag{*} \] stets eine Kreisscheibe vom Radius \(\dfrac14\), nämlich die Kreisscheibe \(|w| < \dfrac14\) untergebracht werden. Nennt man den Radius der größten offenen Kreischeibe, die man in \(\mathfrak G\) (mit einer beliebigen Lage des Mittelpunktes) unterbringen kann, den Inkreisradius des Gebietes, so kann man nach dem Minimum \(\varrho\) dieser Radien für die Gesamtheit aller Bildgebiete, die bei schlichten Abbildungen von der Form (*) entstehen, fragen. (Die Existenz des Minimums zeigt man leicht.) Verf. berechnet die entsprechende Zahl \(\varrho_k\) für die Unterklasse der konvexen Abbildungen. Es ist \(\varrho_k=\dfrac\pi4\), und erreicht wird diese Grenze nur für den Parallelstreifen. Der Beweis beruht wesentlich auf folgendem Hilfssatze: Wenn \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) positive Zahlen mit der Summe 1 sind und \(f(s) = \varGamma(s) \sin \dfrac{s\pi}2\) gesetzt wird, dann gilt \[ f(\alpha)f(\beta)f(\gamma)> \frac{\pi^2}4 \frac{\alpha^{\frac\alpha2} \beta^{\frac\beta2} \gamma^{\frac\gamma2}} {(1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}2} (1-\beta)^{\frac{1-\beta}2} (1-\gamma)^{\frac{1-\gamma}2}} \,. \]