Weber's integral theorem. (Q1460446)

Ist \(x > a > 0\) und \(\sqrt t\,f (t)\) im Intervall \((a, \infty)\) summierbar, ist ferner \(f(t)\) in der Nachbarschaft von \(t = x\) von beschränkter Schwankung, so gilt \[ \int_0^\infty \frac{C_\nu(xu, au)}{J_\nu^2(au)+ Y_\nu^2(au)} u\,du \int_a^\infty C_\nu(tu,au)f(t)\,dt =\frac12\{f(x+0)+f(x-0)\}, \] wo \(\nu\) eine reelle Zahl, \(J_\nu(u)\) und \(Y_\nu(u)\) Besselsche Funktionen, \(C_\nu(\alpha, \beta) = J_\nu(\alpha)Y_\nu(\beta) - J_\nu(\beta) Y_\nu(\alpha)\) sind. Der Verf. gibt den Beweis in Anschluß an den Beweis des Hankelschen Integraltheorems von Watson in Theory of Bessel functions \S14.52. In einer Anmerkung am Schluß der Arbeit bemerkt der Verf., daß die Darstellung als ein Spezialfall aus einer allgemeinen Formel von Hilb und Plancherel folgt. Am einfachsten aber ergibt sich, wie ich hier hervorheben möchte, sowohl die allgemeine Darstellung wie auch die spezielle hier gegebene aus dem Cauchyschen Integralsatz.