Sur certains polynomes biorthogonaux. (Q1460452)

Es sei \(a > 0\), \(\lambda > - 1\), \(\mu > - 1\), \(p\) positiv ganz. Dann ist \[ U_n=x^{-\lambda}\left(1-\frac{x^p}{a^p}\right)^{-\mu} \frac{d^n}{dx^n} \left[x^{n+\lambda} \left(1-\frac{x^p}{a^p}\right)^{n+\mu}\right] \] ein Polynom \(n\)-ten Grades in \(x^p\), von dem Verf. eine Orthogonalitätseigenschaft nachweist. Ähnliches gilt für \[ V_n=\sum_{\nu=0}^n(-1)^\nu \binom n\nu \frac{\varGamma\left(\dfrac{\nu+\lambda+1}p +n+\mu\right)} {\varGamma\left(\dfrac{\nu+\lambda+1}p \right)} \left(\frac xa\right)^\nu. \] Außerdem zeigt er eine gewisse Biorthogonalitätseigenschaft des Polynomsystems \(U_n\), \(V_n\) (\(n = 0\), 1, 2, \(\ldots\)). Wenn man in \(U_n\) zuerst \(\mu = a^p\) setzt, so führt der Grenzübergang \(a \to\infty\) auf die Polynome \[ \overline U_n=x^{-\lambda} e^{x^p} \dfrac{d^n}{dx^n} e^{-x^p} x^{n+\lambda}, \] welche die Beziehungen \[ \int_0^\infty x^{-\lambda}e^{-x^p}\, \overline U_m \overline U_n\,dx = 0 \quad(m \gtrless n) \] erfüllen.