Sur une catégorie de polynomes analogues aux polynomes électrosphériques. (Q1460458)

Verf. untersucht die beiden Polynomsysteme \(A_n(x)\), \(B_n(x)\) (\(n = 0\), 1, 2, \(\ldots\)), welche durch die Rekursion \[ \begin{multlined} A_n(x) = xA_{n-1}(x) + A_{n-2}(x);\quad B_n(x) = A_n(x) + A_{n-2}(x) \hfill\\ \hfill (A_0(x) = 1,\quad A_1(x) = x,\quad B_0(x) = 2,\quad B_1(x) = x;\quad n = 2, 3, 4, \ldots) \end{multlined} \] definiert werden. Er zeigt namentlich die Verwendbarkeit dieser Polynome bei der Auflösung der Pellschen Gleichung \(X^2 - DY^2 = - 1\) in ganzen Zahlen \(X\), \(Y\) (\(D\) ist positiv ganz). Die Eigenschaften von \(A_n(x)\), \(B_n(x)\) ergeben sich unmittelbar aus den, auch vom Verf. angegebenen Darstellungen \[ \begin{aligned} &A_{2\nu}(x)= \frac{\mathop{\text{ch}}(2\nu+1)\varphi} {\mathop{\text{ch}}\varphi}\,, \kern15pt A_{2\nu-1}(x)= \frac{\mathop{\text{sh}}2\nu\varphi}{\mathop{\text{ch}}\varphi}\,, \\ &B_{2\nu}(x) = 2 \mathop{\text{ch}} 2\nu\varphi, \kern34pt B_{2\nu-1}(x) = 2 \mathop{\text{sh}} (2\nu - 1) \varphi \\ &\kern40pt (\nu = 1,2,3,\ldots;\;x=2\mathop{\text{sh}}\varphi). \end{aligned} \] (VI 3.)