Über die invariante Darstellung algebraischer Funktionen einer Veränderlichen. (Q1460468)

Deutet man die \(p\) Formen \(\varphi\) als homogene Punktkoordinaten eines \(S_{p-1}\), so ist jede zur nämlichen Klasse gehörige algebraische Kurve \(C\) \((1, 1)\)-deutig transformierbar in eine \(C_{2p-2}\) im \(S_{p-1}\) (mit Ausnahme des weiterhin auszuschließenden hyperelliptischen Falles). Auf Grund der Noetherschen charakteristischen Funktion \(\chi(\mu)\) eines Moduls \(\mu\) der \(C_{2p-2}\) ist diese im allgemeinen \((p-2)(p-3)\) Überflächen \(F_2\) gemein. Doch kennt man schon für niedrige Werte von \(p\) Fälle, wo diese quadratischen Relationen zwischen den \(\varphi\) zur Bestimmung der \(C_{2p-2}\) nicht ausreichen. Zunächst werden, lediglich auf Grund des Riemann-Rochschen Satzes, Relationen aufgestellt, die die \(C_{2p-2}\) vollständig bestimmen. Sodann werden diejenigen Fälle erledigt, wo die quadratischen Relationen nicht hinreichen, sondern noch kubische heranzuziehen sind; indessen gibt es nur zwei Typen solcher Fälle. Abgesehen von diesen beiden singulären Familien, haben nicht nur die \(F_2\) die \(C_{2p-2}\) als einziges Schnittgebilde gemein, sondern sie bilden auch eine Basis für den Modul der \(C_{2p-2}\), d. h. jede die \(C_{2p-2}\) enthaltende \(F_\mu\) ist in der Form \(\sum\limits_{i=1}^p A_if_i\) darstellbar, wo die \(f_i\) eben die obigen \(F_2\) bedeuten und die \(A_i\) Formen der Ordnung \(\mu - 2\). Die gegenseitige Bindung der quadratischen Relationen erfolgt durch eine Reihe linearer Identitäten von der Art \(\sum A_\varrho f_\varrho = 0\), mit den \(A_\varrho\) als Linearformen. An Beispielen wird gezeigt, wie man durch rationale Operationen, ohne Rücksicht auf singuläre Elemente, zu den Relationen gelangt. Die Identitäten führen zur Scheidung in verschiedene Familien, die auf bestimmten, durch quadratische Relationen definierten Mannigfaltigkeiten höherer Dimension liegen. Von Interesse sind die zweidimensionalen \(M\) im \(S_{p-1}\), vor allem der einfachste Fall, wo die \(C_{2p-2}\) der volle Schnitt einer \(F_{p-1}\) mit einer \(F_2\) ist. Die fragliche Scheidung ist für die Normkurve \(N_5\) im \(R_5\) von besonderer Bedeutung. Mit \(\varPhi_\mu\), \(\varPsi_\mu\), \(X_\mu\), \(\ldots\) seien Formen der \(\varphi\) vom Grade \(\mu\) bezeichnet, mit \(f\), \(F\), \(G\), \(\ldots\) Polynome, die durch ihr Verschwinden die Überflächen durch die \(C_{2p-2}\) darstellen. Ferner sei \(M^n_r\) eine \(M\) der Dimension \(r\) und der Ordnung \(n\); die Überflächen sind also \(M^n_{p-2}\). Die Abzählungen über Spezialscharen und die quadratischen Relationen beruhen auf dem Riemann-Rochschen Satze. \(Q\) Punkte einer Spezialgruppe, die einer \(g_Q^q\) (\(q\geqq 0\)) angehören, bestimmen einen \(S_{p-2-s}\), der durch die \(s +1\) Überebenen \(\varphi_0 = 0\), \(\ldots\), \(\varphi_s = 0\) erzeugt wird, die die \(G_Q\) gemein haben. Die letzteren schneiden die \(C_{2p-2}\) in einer linearen Vollschar \(g^S_{2p-2-Q} = g^s_S\). Es gibt dann genau \(\dbinom{p+1}2 -\left(\dfrac{p-S}2\right) -(3p-3-Q)\) linear unabhängige quadratische Relationen der Form: \(M_{p-2} \equiv \sum\limits_{i=0}^s \varphi_i\varPhi_i = 0\). Hierbei scheidet der Fall \(s = 0\) aus, da die \(C_{2p- 2}\) nicht in einem \(S_{p-2}\) liegen kann. Für \(s = 1\) hat man \(q\), für \(s = 2\) hat man \(p - 3\), für \(s > 2\) im allgemeinen \(p - 2\) unabhängige \(M_{p-2}\), im besonderen aber auch nur \(p - 3\). Damit ist der eingangs aufgestellte Satz bewiesen, solange die \(G^s_S\) nicht aus Involutionen zusammengesetzt ist. Der letztere Fall erfordert dagegen verwickelte Einzelüberlegungen, auf die hier nicht eingegangen werden kann. (V 5 E, V5C.)