Réduction des systèmes algébriques de points appartenant à une même courbe algébrique. Théorème d'Abel. (Q1460478)

``Sind \(pm\) von den \(p(m+n)\) Schnittpunkten zweier ebenen algebraischen Kurven \(C_{m+n}\) und \(C_p\) der Ordnungen \(m+n\) und \(p\) (\(\leqq m+n\)) der volle Schnitt von \(C_p\) mit einer Kurve \(m\)-ter Ordnung, so sind die \(pn\) übrigen der volle Schnitt von \(C_p\) mit einer Kurve \(n\)-ter Ordnung.'' Auf Grund dieses für singularitätenfreie \(C_p\) unbeschränkt gültigen, von Sylvester herrührenden Satzes wird bewiesen, daß der Schnitt einer beliebigen Kurve mit einer festen singularitätenfreien Kurve \(C_m\) der \(m\)-ten Ordnung sich durch Addition und Subtraktion der Schnitte von \(C_m\) mit Kurven höchstens \((m-2)\)-ter Ordnung erhalten läßt. Es wird vermutet, daß diese Eigenschaft für die Kurven \(m\)-ter Ordnung charakteristisch ist. Die Reduktion kann auf verschiedene Arten ausgeführt werden. Für das Abelsche Theorem wird ein einfacher Beweis gegeben unter der Einschränkung, daß die veränderliche Kurve, bis zu deren Schnittpunkten mit \(C_m\) die Integrale erster Gattung erstreckt werden, eine ``Parabel'': \[ y=p_0+p_1x+\cdots+p_hx^h \] ist. Da man nach dem Obigen die Ordnung dieser Kurve \(\leqq m-2\) annehmen kann und jede Kurve erster oder zweiter Ordnung einer Parabel kollinear ist, ergibt sich so ein Beweis des Abelschen Theorems für \(m=3\) und \(m=4\), d. h. für die Geschlechter l und 3, ohne Benutzung höherer Hilfsmittel.