Sur les fonctions fuchsiennes. Extrait d'un mémoire inédit. (Q1460481)

Die Arbeit bringt die allerersten Anfänge der Untersuchungen Poincarés über Fuchssche Funktionen. Fuchs hatte im J. für Math. 89, 151-169 (1880), 90, 678-680 (1880), die Frage aufgeworfen, wann in der Differentialgleichung \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=Q(x)y\), welche nur singuläre Stellen der Bestimmtheit haben soll, \(x\) eine eindeutige Funktion des Quotienten \(\eta\) zweier Partikularlösungen \(y_1\) und \(y_2\) der Differentialgleichung ist. Als notwendige und , wie Fuchs irrigerweise glaubte, hinreichende Bedingung dafür erhält man die Forderung, daß die Differenz der Wurzeln der determinierenden Fundamentalgleichung für jeden singulären Punkt 0 oder eine reziproke ganze Zahl sei. Damit ist aber nur erreicht, daß das Gebiet der \(\eta\)-Ebene, auf welches die unendlich oft überdeckte \(x\)-Ebene durch \(\eta\) abgebildet wird, für keinen durch analytische Fortsetzung erreichbaren Punkt \(\eta\) einen Verzweigungspunkt hat. Wohl aber kann das Gebiet, sich um einen nicht erreichbaren Punkt herumschlingend, noch mehrfach überdecken. Poincaré deckt nun diese Verhältnisse auf und zeigt an Beispielen, die sich mittels doppelperiodischer Funktionen behandeln lassen, daß die Fuchssche Bedingung im allgemeinen nicht hinreicht. Für die Weiterentwicklung von Poincaré besonders wichtig ist aber der Fall, daß die Differentialgleichung zwei singuläre Stellen im Endlichen hat. Hier trifft Poincaré also auf den Fall, in dem ein Kreis der \(\eta\)-Ebene bei allen Transformationen, die beliebigen Umläufen von \(x\) entsprechen, in sich übergeht. Durch geeignete Projektion führt er das Kreisbogenviereck, das der \(x\)-Ebene in der \(\eta\)-Ebene entspricht, in ein geradliniges über und zeigt damit, daß die \(\eta\)-Ebene innerhalb des Kreises schlicht überdeckt wird.