Sur la résolution de certaines équations de Fredholm au moyen d'une série entière. (Q1460494)

Innerhalb des Kreises \(C\) vom Radius \(R\) um den Ursprung der komplexen Zahlenebene sei ein rektifizierbarer Bogen \(B\) gegeben. Die Funktion \(f(x)\) sei regulär in \(C\), die Funktion \(K(x,y)\) sei für alle \(x\) in \(C\) und jedes \(y\) auf \(B\) regulär und gleichmäßig beschränkt. Die Integralgleichung \[ \varphi(x)+\int_B K(x,y)\varphi(y)\,dy=f(x) \tag{1} \] läßt sich alsdann durch Einführung der Potenzreihen \[ \varphi(x)=\sum a_nx^n,\quad f(x)=\sum c_nx^n,\quad K(x,y)=\sum u_n(y)x^n \] zurückführen auf das System \[ a_p+\sum_{n=0}^\infty b_{pn}a_n=c_p\qquad (p=0,1,2,\ldots), \tag{2} \] wobei gesetzt ist \[ b_{pn}=\int_B u_p(y)y^n\,dy. \] Das System (2) kann dann leicht umgeformt werden in ein anderes, dessen Determinante normal konvergiert [d. h. für das System (2) ausgesprochen, \(\sum|b_{pn}|\) ist konvergent], sodaß die klassische Auflösungstheorie anwendbar ist. Dadurch erhält man schließlich eine in \(C\) reguläre Lösung \(\varphi(x)\) der Integralgleichung (1), [welche als solche einzig ist]. Endlich gibt Verf. noch an, was herauskommt, wenn man in (1) den üblichen Parameter \(\lambda\) einführt.