Sur une classe d'équations intégrales non linéaires. (Q1460502)

Es sei die lineare Integralgleichung gegeben: \[ \begin{gathered} \tau(x)=t(x)+\lambda\int_a^b H(x,s)\tau(s)\,ds;\\ t(x)\geqq 0,\quad H(x,s)\geqq h>0; \end{gathered} \] der kleinste (stets existierende) positive Eigenwert sei \(\lambda_1\) (\(\leqq h^{-1}\)) (Satz von R.~Jentzsch, J. für Math. 141, 235; F. d. M. 43, 429 (JFM 43.0429.*), 1912). Es existiert eine zu \(\lambda_1\) gehörige \textit{positive} Eigenfunktion; die Lösung \(\tau(x)\) kann ebenfalls positiv sein, aber nur für \(\lambda<\lambda_1\). Es sei noch gegeben \[ \begin{gathered} \tau^*(x)=t^*(z)+\lambda\int_a^b H^*(x,s)\tau^*(s)\,ds;\\ t^*(x)\geqq 0,\quad H(x,s)\geqq H^*(x,s)\geqq h^*>0; \end{gathered} \] dann ist \(\lambda_1^*\geqq\lambda_1\). Hat man überdies \(\tau(x)>0\) und \(t^*(x) <t(x)\) so ist auch \(\tau^*(x)<\tau(x)\). Auf Grund dieser Sätze läßt sich in wesentlicher Verallgemeinerung der Picardschen Theorie gewisser nichtlinearer Differentialgleichungen (Traité d'analyse, III, 129-138), die an sich mit Hilfe des Burkhardtschen Kernes auf Integralgleichungen zurückgeführt werden können, das folgende allgemeine Problem behandeln: Gegeben \[ \varphi(x)=f(z)+\lambda\int_a^b K(x,s;\varphi(s))\,ds;\tag{1} \] \(K(x,s;y)\) und \(f(x)\) sind definiert für \(a\equiv x\), \(s\leqq b\), \(0\leqq y<\infty\); \(K(x,s;0)=0\); \(K_y'>0\); für \(y_1<y_2\) ist Min (\(K_y'(x,s;y_1)-K_y'(x,s;y_2))>0\); \(\lim\limits_{y\to\infty}K_y'=Q(x,s)\) existiert; entweder ist \(Q(x,s)\equiv 0\) oder \(\operatorname{Min}Q(x,s)>0\); \(\lambda>0\); \(f(x)\geqq 0\) beschränkt. Es seien \(\alpha\) und \(\beta(>\alpha)\) die kleinsten positiven Eigenwerte für \(K_y'(x,s;0)\) und \(Q(x,s)\); für \(f(x)\equiv 0\) besitzt (1) keine nichttriviale Lösung (\(\not\equiv 0\)) mit \(\lambda\leqq\alpha\), \(\lambda\geqq\beta\), wohl aber eine einzige solche mit \(\alpha<\lambda<\beta\); für \(f(x)\neq 0\) besteht keine Lösung (\(\not\equiv 0\)) mit \(\lambda\geqq\beta\), sonst eine einzige solche. Die Lösungen wachsen mit \(\lambda\); wird \(f(x)\) durch \(\mu f(x)\) ersetzt und ist \(\operatorname{Min}f(x)>0\), \(\mu>0\), so ist \(\varphi(x)\) eine wachsende Funktion auch von \(\mu\). Mit Ausnahme etwaiger Randpunkte besitzt \(\varphi(x)\) sowohl nach \(\lambda\) wie nach \(\mu\) endliche Ableitungen erster Ordnung.