Sur les modes de continuité de certaines fonctionnelles. (Q1460509)

Angenommen, die Definition eines Funktionals \(U\) sei derart, daß das Funktional einen Sinn bekommt im Feld der Funktionen, die endliche Ableitungen bis zur Ordnung \(p\) haben, daß das Funktional aber keinen Sinn bekommt, sobald die \(p\)-te Ableitung nicht existiert oder unendlich wird. Dann läßt sich fragen: 1. Kann das Funktional stetig sein von der Ordnung \(p-1\)? 2. Kann das Funktional stetig sein von der Ordnung \(p+1\), ohne es von der Ordnung \(p\) zu sein? An einfachen Beispielen läßt sich zeigen, daß beide Fragen zu bejahen sind. Durch die Angabe solcher Beispiele ist der Verf. auf die Frage nach der Erweiterung der Definition eines Funktionals außerhalb des ursprünglich gegebenen Feldes geführt worden. Er beweist insbesondere den folgenden Satz: Das Funktional \(U|[y_0^1(x)]|\) sei im Felde aller Polynome definiert und in diesem Feld stetig in bezug auf eine gleichmäßige Umgebung der Ordnung \(p\). Ist ferner diese Stetigkeit eine gleichmäßige, dann läßt sich \(U\) für alle Funktionen definieren, die eine stetige \(p\)-te Ableitung im Intervall \((0,1)\) besitzen. In dem so erweiterten Feld bleibt \(U\) gleichmäßig stetig in bezug auf eine gleichmäßige Umgebung der Ordnung \(p\).