Sur les polynomes orthogonaux et l'approximation des fonctions continues. (Q1460531)

Es werden hier die durch die Gleichungen \[ \int_0^\infty e^{-k^2\log^2x}P_m(x)P_n(x)\,dx=\begin{matrix} 0, & m\neq n\\1, & m=n\end{matrix} \] definierten Orthogonalpolynome explizit berechnet und die nach ihnen fortschreitenden Fourierentwicklungen betrachtet. Mit Hilfe dieser Entwicklungen wird dann bewiesen, daß keine für \(x\geqq 0\) beschränkte und stetige (nicht konstante) Funktion \(\varphi(x)\) durch irgend welche Polynome \(Q_n(x)\) in jedem endlichen Intervalle derart gleichmäßig approximiert werden kann, daß außerdem im unendlichen Intervalle die Ungleichung \[ |\varphi(x)-Q_n(x)|<e^{k^2\log^2x} \] bestehe. Verf. erwähnt, daß M.~Riesz in seinen Vorlesungen gezeigt hat, daß in dieser Aussage \(e^{k^2\log^2x}\) durch \(e^{k^2x^{\frac12-\varepsilon}}\) ersetzt werden kann. Dagegen ist die genannte Approximation stets möglich, und zwar für eine beliebige beschränkte und stetige Funktion, wenn man sich mit der Fehlerabschätzung \(e^{k^2x^{\frac12}}\) begnügt.