Übertragung des Trajektorienproblems auf beliebige ebene Transformationsgruppen. (Q1460536)

Zu jeder \(r\)-gliedrigen Gruppe von Punkttransformationen der Ebene, deren niedrigste Differentialinvariante von \((r-1)\)-ter Ordnung ist (\(r>1\)), gehören zwei invariante Pfaffsche Ausdrücke von der Form: \[ \alpha(x,y,y',\ldots,y^{(r-2)})\,dx+\beta(x,y,y',\ldots,y^{(r-2)})\,dy \] die aus den infinitesimalen Transformationen durch Quadratur erhalten werden. Ihr Quotient ist eine gemischte Differentialinvariante eines Elementes \((r-2)\)-ter Ordnung und eines von erster Ordnung, die den Punkt gemein haben. Es gibt überhaupt für jedes \(\varrho\leqq r-2\) eine und nur eine Differentialinvariante, die ein Element \((r-2)\)-ter und eines \(\varrho\)-ter Ordnung mit gemeinsamem Elemente \((\varrho-1)\)-ter Ordnung enthält. Setzt man diese Differentialinvariante gleich einer Konstanten, so erhält man zu jeder Differentialgleichung \(\varrho\)-ter Ordnung im allgemeinen eine bei der Gruppe kovariante Schar von \(\infty^1\) Differential gleichungen \(\varrho\)-ter Ordnung, wenn man vermöge der Differentialgleichung die Ableitungen \(\varrho\)-ter,\(\ldots\),\((r-2)\)-ter Ordnung des Elementes \((r-2)\)-ter Ordnung eliminiert. Man hat hier eine Verallgemeinerung des Begriffs der isogonalen Trajektorien einer einfach unendlichen Kurvenschar. Das Verfahren versagt, wenn die Differentialgleichung \(\varrho\)-ter Ordnung selbst bei der Gruppe invariant ist. Man erhält dann eine bemerkenswerte Darstellung dieser invarianten Differentialgleichung durch das invariante Bogenelement und das invariante Flächenelement der Gruppe. Zugleich ergibt es sich, daß es für jedes \(\varrho\) (\(1<\varrho\leqq r-2\)) höchstens eine invariante Differentialgleichung \(\varrho\)-ter Ordnung geben kann.