Beiträge zur Theorie der Differentialinvarianten. (Q1460539)

Eine imprimitive r-gliedrige Gruppe von Punkttransformationen der Ebene läßt eine lineare partielle Differentialgleichung: \[ Lf = a(x,y)\frac {\partial f}{\partial x}+\beta(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} = 0 \] invariant. Ist nun ihre niedrigste Differentialinvariante von der Ordnung \(r>1\), so gibt es einen invarianten Differentialausdruck: \[ \varrho(x,y,y',\ldots,y^{(r-2)})Lf, \] dessen Zusammenhang mit dem Bogenelemente und dem Flächenelemente der Gruppe festgestellt wird. Besonders bemerkenswert ist der Fall, daß zugleich der Ausdruck \(Lf\) bei der Gruppe invariant bleibt. Hier eröffnet sich ein Weg zur integrationslosen Berechnung des Bogenelements und des Flächenelements in gewissen Fällen, die sich bisher den Methoden des Verf. entzogen. Es zeigt sich zugleich, daß eine Gruppe der hier betrachteten Art für \(r > 1\) höchstens einen Ausdruck Lf invariant lassen kann. Auch allgemeinere invariante Ausdrücke, wo \(\varrho\) von mehreren Elementen abhängt, können gebildet werden.