Le passage à la limite des équations aux différences aux équations différentielles dans les problèmes aux limites. (Q1460582)

Es sei \[ \frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{du}{dx}\right] + q(x)u + \lambda u = f(x) \] eine selbstadjungierte Differentialgleichung zweiter Ordnung. \(p(x)\) sei \(>0\) in \(0 \leqq x \leqq 1\); \(p\), \(\dfrac{dp}{dx}\), \(\dfrac{d^2p}{dx^2}\), \(q\), \(f\) seien stetig in demselben Intervall. Gesucht ist diejenige Lösung der Differentialgleichung, die den Randbedingungen \(u(0) = u(1) = 0\) genügt. Verf. zeigt, daß die Cauchy-Lipschitzsche Integrationsmethode auf dieses Randwertproblem anwendbar ist. Mit anderen Worten, das Problem läßt sich als Grenzfall des Differenzenproblems \[ \begin{aligned} p_in^2\Delta^2u_{i-1}+n\Delta p_i\cdot n\Delta u_i&+(q_i+\lambda)u_i=f_i\quad (i=1, 2, \ldots, n),\\ &u_0 = u_n =0 \end{aligned} \] behandeln. Hier sind \(p_i\), \(q_i\), \(f_i\) Abkürzungen fur \(p\left(\dfrac in\right)\), \(q\left(\dfrac in\right)\), \(f\left(\dfrac in\right)\). Verf. zeigt in der Tat: wenn \(\dfrac in \to x\) geht für \(n \to \infty\), ist \(\lim u_i = u(x)\), \(\lim n\Delta u_i=\dfrac{du}{dx}\), \(\lim n^2\Delta^2u_{i-1}=\dfrac{d^2u}{dx^2}\) und zwar gleichmäßig in \((0,1)\), vorausgesetzt, daß \(\lambda\) kein Eigenwert des homogenen Differentialproblems ist. Ist umgekehrt \(\lambda\) ein solcher Eigenwert, so gibt Verf. Sätze, die die Berechnung dieses Eigenwertes und der entsprechenden Eigenfunktion aus der Lösung des homogenen Differenzenproblems gestatten. Die Anwendbarkeit der Cauchy-Lipschitzschen Methode wird zuerst im Falle des einfachen Problems: \(\dfrac{d^2u}{dx^2}=f(x)\), \(u(0) = u(1) = 0\), bestätigt. Das allgemeine Problem wird dann durch Einführung der Greenschen Funktion des Differenzenproblems auf die Lösung einer linearen Integralgleichung zweiter Art nach der Hilbertschen Methode (Ersetzung der Integrale durch endliche Summen) zurückgeführt.