Mémoire sur le calcul aux différences finies. (Q1460587)

Es handelt sich um die beiden Differenzengleichungen \[ \begin{aligned} \frac{F(x+\omega)-F(x)}{\omega}=\varphi(x), \tag{1} \\ \frac{G(x+\omega)+G(x)}{2}=\varphi(x), \tag{2} \end{aligned} \] wo \(\varphi(x)\) eine gegebene stetige Funktion und \(F(x)\) bzw. \(G(x)\) gesucht sind. Die Lösungen sind natürlich nicht eindeutig, sondern die Lösung von (1) ist nur bis auf eine additive Funktion der Periode \(\omega\) bestimmt, und die Lösung von (2) nur bis auf eine additive Funktion \(p(x)\), für welche \(p(x +\omega) = - p(x)\) ist. Wenn eine Lösung bekannt ist, so ist hiermit auch die allgemeinste Lösung bekannt, und es handelt sich nun darum, unter allen Lösungen eine ausfindig zu machen, die vermöge ihrer besonderen Eigenschaften verdient, als \textit{Hauptlösung} bezeichnet zu werden. Um eine dermaßen ausgezeichnete Lösung zu finden, nimmt Nörlund zunächst \(x\) reell und \(\omega\) positiv an und geht von den Ausdrücken \[ \begin{aligned} &F(x) = - \omega \sum_{s=0}^\infty \varphi(x + s\omega), \tag{3} \\ &G(x) = 2 \sum_{s=0}^\infty (- 1)^s \varphi(x + s\omega) \tag{4} \end{aligned} \] aus, die die Gleichung (1) bzw. (2) formal befriedigen; doch sind die Reihen in (3) und (4) im allgemeinen divergent. Unter ziemlich allgemeinen Annahmen über die Funktion \(\varphi(x)\) läßt sich aber zeigen, daß die Ausdrücke \[ \begin{aligned} &F_{\eta}(x|\omega)= \int_a^\infty \varphi(x)e^{-\eta x}\,dx-\omega\sum_{s=0}^\infty \varphi(x+s\omega)e^{-\eta(x+s\omega)}, \tag{5} \\ &G_{\eta}(x|\omega)=2\sum_{s=0}^\infty (-1)^s \varphi(x+s\omega)e^{-\eta(x+s\omega)} \tag{6} \end{aligned} \] für positive \(\eta\) existieren und für \(\eta \to 0\) gegen gewisse Grenzwerte \[ \begin{aligned} &\lim_{\eta \to 0} F_{\eta}(x|\omega) = F(x|\omega), \tag{7} \\ &\lim_{\eta \to 0} G_{\eta}(x|\omega) = G(x|\omega) \tag{8} \end{aligned} \] streben. Diese Grenzwerte genügen dann, wie man leicht sieht, der Gleichung (1) bzw. (2), und sie werden als \textit{Hauptlösung} bezeichnet. Die untere Integrationsgrenze \(a\) in (5) bleibt dabei willkürlich, so daß die Hauptlösung von (1) nur bis auf eine additive willkürliche Konstante, die von (2) aber eindeutig bestimmt ist. Wenn die Reihen (3), (4) zufällig konvergieren, stellen sie nach dem Abelschen Stetigkeitssatz die Hauptlösung dar. Für die Hauptlösungen beweist nun Nörlund eine Reihe wichtiger Beziehungen, wie z. B. \[ G(x|\omega) = \frac 2{\omega}[F(x|\omega)-F(x|2\omega)], \] durch welche das Studium der Funktion \(G\) zurückgeführt wird auf die Funktion \(F\). Besonders eingehend wird das asymptotische Verhalten der Funktionen \(F\), \(G\) für \(x \to \infty\) bei festem \(\omega\) und für \(\omega \to 0\) bei festem \(x\) studiert. Wenn \(\varphi(x)\) eine stetige Ableitung \(m\)-ter Ordnung hat und wenn für hinreichend kleine positive \(\varepsilon\) \[ \lim_{x\to \infty} x^{1+\varepsilon}\varphi^{(m)}(x) = 0 \] ist, so haben \(F(x|\omega)\) und \(G(x|\omega)\) stetige Ableitungen \(m\)-ter Ordnung nach \(x\), die für \(x \to \infty\) gegen endliche Grenzwerte streben. Diese Eigenschaft kommt keiner anderen Lösung zu; sie könnte also auch zur \textit{Definition} der Hauptlösung dienen. Ist \(r\) die kleinste ganze Zahl, so daß \(\lim\limits_{x\to \infty} \varphi^{(r)}(x) = 0\), so wird das Verhalten für \(x \to \infty\) noch weiter charakterisiert durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} &\lim_{x\to \infty} \left[F(x|\omega) \int_a^z\varphi(z)\,dz-\sum_{\nu=1}^r\omega^{\nu}\frac{B_\nu}{\nu!} \varphi^{(\nu-1)}(x)\right] = 0, \tag{9} \\ &\lim_{x\to \infty} \left[G(x|\omega) \sum_{\nu=0}^{r-1}\left(\frac{\omega}2\right)^{\nu}\frac{c_\nu}{\nu!} \varphi^{(\nu)}(x)\right] = 0; \tag{10} \end{aligned} \] dabei bedeuten die \(B_\nu\) die Bernoullischen Zahlen in der Bezeichnungsweise \(B_0=1\), \(B_1 = -\frac 12\), \(B_2=\frac 16\), \(B_3=0\). \(B_4=-\frac 1{30}\), \(B_5 = 0\), \(B_6=\frac 1{42}, \ldots,\) und es ist \[ C_\nu = 2^{\nu+1}(1 - 2^{\nu+1})\frac {B_{\nu+1}}{\nu+1}. \] Für \(\omega \to 0\) dagegen ist asymptotisch \[ \begin{aligned} &F(x|\omega) \sim \int_a^x \varphi(z)\,dz+\sum_{\nu=1}^\infty \omega^{\nu} \frac{B_\nu}{\nu!}\varphi^{(\nu-1)}(x), \tag{11} \\ &G(x|\omega)\sim \sum_{\nu=0}^\infty \left(\frac {\omega}{2}\right)^{\nu}\frac {C_\nu}{\nu!}\varphi^{(\nu)}(x). \tag{12} \end{aligned} \] In einem zweiten Abschnitt werden auch komplexe Werte für \(x\) und \(\omega\) zugelassen. Dabei zeigt sich, daß unter gewissen einfachen Annahmen über das analytische Verhalten von \(\varphi(x)\) in einem kleinen, die reelle positive Achse einschließenden Winkelraum die Funktionen \(F(x|\omega)\) und \(G(x|\omega)\) analytische Funktionen von \(x\) und \(\omega\) sind, so lange \(x\) und \(\omega\) in diesem Winkelraum bleiben. Sie lassen sich aber bei weiteren Annahmen über \(\varphi(x)\) analytisch fortsetzen, und zwar sind sie bei festem \(\omega\) in der \(x\)-Ebene eindeutige Funktionen mit angebbaren, von \(\omega\) abhängigen singulären Stellen. Als Funktion von \(\omega\) hat \(G(x|\omega)\) in der Umgebung des Nullpunktes zwar unendlich viele Singularitäten, ist aber noch eindeutig, während \(F(x|\omega)\) die Form hat: \[ - B \log \omega +\; \text{eindeutige Funktion von}\; \omega. \] Die asymptotischen Formeln (11), (12) gelten, wenn \(\Re(x)\) hinreichend groß ist, auf jedem Strahl der Halbebene \(\Re(\omega) \geqq 0\), während sie für die Strahlen der Halbebene \(\Re(\omega) < 0\) eine Modifikation erleiden. Als hübsche Anwendung der allgemeinen Untersuchungen wird eine Theorie der Gammafunktion eingeschaltet, gegründet auf die Funktionalgleichung \[ \psi(x+1) - \psi(x)=\frac 1x. \] Die Hauptlösung dieser Gleichung ist nämlich bei passender Wahl der darin enthaltenen willkürlichen Konstanten die Funktion \(\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\).