Sur certaine classe des équations linéaires aux dérivées partielles. (Q1460607)

Laisant (Bull. soc. math. de France 20) hat den folgenden Satz bewiesen: Jede Funktion von der Gestalt \[ u = u_{\alpha_1}+\cdots+u_{\alpha_n}, \tag{1} \] worin die \(u_{\alpha_i}\) homogene Funktionen \(\alpha_i\)-ten Grades von \(x_1,\cdots, x_m\) sind, befriedigt eine partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: \[ a_n u^{(n)} +\cdots + a_0 u^{(0)}=0, \tag{2} \] worin \[ u^{(k)} =\left(x_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+ x_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^k u \tag{3} \] ist, und umgekehrt: (2) wird i. a. bei passenden \(\alpha_i\) durch Ausdrücke von der Gestalt (1) gelöst. Verf. zeigt, wie auch im Falle gleicher charakteristischer Wurzeln \(\alpha_i\) die allgemeine Lösung zu geben ist, indem er durch Verwendung Liescher kanonischer Variablen, hier \[ y_1=\log x_1,\;y_2 =\frac{x_2}{x_1}, \ldots, \;y_n =\frac{x_n}{x_1}, \tag{4} \] auf eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kommt. Die gleiche Methode ist auch bei anderen Operatoren als (3) anwendbar.