Sur la définition et le mode de continuité de la fonction de Green harmonique et de la solution du problème de Dirichlet. (Q1460630)

Definiert man, wie gewöhnlich, die Greensche Funktion, so verlangt man das Verschwinden dieser Funktion auf dem ganzen Rand. Dann gibt es Gebiete, die keine Greensche Funktion besitzen. Im Anschluß an Lebesgue wird vom Verf. ein solches Gebiet konstruiert. Es wird dann gezeigt, wie man, mit Hilfe der Hadamardschen Funktionalgleichung der Greenschen Funktion, die Definition so erweitern kann, daß solche Gebiete eine Greensche Funktion besitzen. Die Greensche Funktion ist, in Abhängigkeit von der Berandung betrachtet, ein von der Ordnung Null stetiges Funktional. Aber die Stetigkeit geht sogar weiter. Ist nämlich \(\varOmega\) ein Gebiet und \(G_{\varOmega}(A, B)\) die Greensche Funktion des Gebietes, ist ferner \(C\) ein rektifizierbarer Kurvenbogen der vom Rande von \(\varOmega\) ausgeht und ins Innere eindringt, so läßt sich um jeden Punkt von \(C\) eine Kugel von unendlich kleinem Radius \(\varepsilon\) legen. Entfernt man von \(\varOmega\) alle diese Kugelr, so bleibt ein Gebiet \(\varOmega'\) übrig, dessen Greensche Funktion \(G_{\varOmega'}(A, B)\) unendlich benachbart (von beliebiger Ordnung) zu \(G_{\varOmega}(A, B)\) ist. Daraus werden Schlüsse gezogen bezüglich der Funktionalstetigkeit des Dirichletschen Problems; insbesondere wird der Satz von Lebesgue bewiesen: Weiß man von einer in \(\varOmega\) beschränkten Funktion, daß sie in \(\varOmega\), mit Ausnahme vielleicht von \(C\), harmonisch ist, so ist sie auch auf \(C\) harmonisch. In diesen Sätzen läßt sich die Kurve \(C\) nicht durch ein Flächenstück ersetzen.