Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure. (Q1460667)

Verf. stellt für die ``abzählbaren Wahrscheinlichkeiten'' ein System von Axiomen auf, das genau der von Sierpiński (Bull. Ac. Cracovie 1918, 173; F. d. M. 46, 298 (JFM 46.0298.*)) gegebenen axiomatischen Definition der nach Lebesgue meßbaren Mengen entspricht, so daß hierdurch unmittelbar die Sätze über ``abzählbare Wahrscheinlichkeiten'' und die Sätze über das Maß von Punktmengen einander zugeordnet werden. Verschiedene Anwendungen werden gegeben auf Fragen der Ziffernhäufigkeit und auf Fragen der Wahrscheinlichkeit der Konvergenz gewisser numerischer Reihen mit unbestimmtem Vorzeichen des allgemeinen Gliedes. Besonders ausführlich wird das sog. ``Borelsche Paradoxon'' (Palermo Rend. 27, 247; F. d. M. 40, 283 (JFM 40.0283.*), 1909) (``Für fast alle Zahlen ist die Häufigkeit der \(0\) in der dyadischen Entwicklung \(=\frac 12\)'') behandelt. Verf. findet hierzu: Fast überall gilt \[ \limsup_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2n}{\log n}}\cdot \left|\frac{\nu(n)}{n}-\frac12\right|\leqq 1, \] wobei \(\nu(n)\) die Anzahl der Nullen unter den \(n\) ersten Ziffern der dyadischen Entwicklung der betr. Zahl bedeutet. Ferner gibt Verf. eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Zahl im Borelschen Sinne ``normal'' sei. (III, IV 2.)