Über regellose alternierende Folgen. Ein Beitrag zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1460673)

Die Urliste eines alternativen Kollektivs, etwa die unendliche Folge von Kopf oder Wappen bei unbeschränkt fortgesetztem Münzenwurfe, möge einen bestimmten Grenzwert w aufweisen, dem die relative Abschnittshäufigkeit der Elemente der einen Art (etwa Kopf) zustrebt. Wählt man eine unendliche Teilfolge aus und betrachtet sie wieder als eine Urliste. so wird diese i. a. einen anderen oder gar keinen Grenzwert besitzen. Beschrankt man dagegen die Auswahl auf solche Glieder, deren Nummern eine arithmetische Reihe bilden, so wird durch die Forderung der Invarianz von \(w\) eine Eigenschaft der ersten Urliste postuliert, die als Regellosigkeit bezeichnet werden mag. Werden die Elemente der beiden Arten durch 1 oder 0 ersetzt, so kann die Aussage der Regellosigkeit durch die für jedes natürlich k giltige Formel \[ \frac 1m\sum_{n=0}^{m-1} a_{r+kn}=w,\quad (a_h=0 \;\text{oder} \;1) \] ausgedrückt waren. Es wird alsdann ein Kriterium der Regellosigkeit im Bestehen der Gleichungen \[ \lim_{z=1}(1-z)\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k=w,\quad \lim_{z=\varepsilon}(\varepsilon-z)\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k=0 \] gefunden, unter \(\varepsilon\) jede von der Einheit verschiedene Einheitswurzel verstanden; endlich wird die Existenz regelloser alternierender Reihen durch die Aufstellung eines Zahlenbeispiels (Reihe von Skutsch) mit dem Grenzwerte \(w = \frac12\) nach gewiesen. (IV 4.)