On the inversion of Bernoulli's theorem. (Q1460675)

Verf. gibt einen neuen Beweis für den Bernoullischen Satz und seine Umkehrung im einfachsten Falle. Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(E\), \(q=1-p\); die Wahrscheinlichkeit des \(\nu\)-maligen Eintreffens von \(E\) bei \(n\) Versuchen ist: \[ P=\binom{n}{\nu}p^{\nu}q^{n-\nu}. \] Man setze \(\nu =\bar{p}n\); \((\bar{p} - p)n = x\), also \[ P=P(x)=\binom{n}{pn+x}p^{pn+x}q^{qn-x}, \] was für große n zu \[ P(x)\sim\frac{k}{\sqrt{\pi}}e^{-k^2x^2},\quad k=(2pqn)^{-\frac12} \] und daraus unschwer zum Bernoullischen Satze führt. Im Falle der Umkehrung ist \(\bar{p}\) als bekannt anzusetzen ; \(p\) möge -- was an sich freilich eine hier nicht zu vermeidende Willkür bedeutet -- mit gleicher Wahrscheinlichkeit a priori gleich \(0,\dfrac1m, \dfrac2m,\ldots,1\) sein können; die Wahrscheinlichkeit a posteriori für \(p=\dfrac im\) ist nach dem Satze von Bayes gleich \[ \varDelta \bar{P}=\frac{\dfrac 1{m+1}\dbinom{n}{\nu} \left(\dfrac im\right)^{\nu}\left(\dfrac{m-i}{m}\right)^{n-\nu}} {\sum\dfrac 1{m+1}\dbinom{n}{\nu}\left(\dfrac im\right)^{\nu} \left(\dfrac{m-i}{m}\right)^{n-\nu}}, \] was wiederum für \(\left(\bar{p} -\dfrac im\right)n=x\) und große \(m, n, \nu, n - \nu\), bei \(\bar{q}=1-\bar{p}\), ergibt: \[ \varDelta\bar{P}=\frac{\bar{k}}{\sqrt{\pi}}e^{-\bar{k}^2x^2}\varDelta x,\quad \bar{k}=(2\bar{p}\bar{q}n)^{-\frac12},\quad \varDelta x=\frac nm. \]