Sur une application de la dérivée d'ordre non entier au calcul des probabilités. (Q1460676)

Es sei \(F(x)\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Variable kleiner sei als \(x\); dann ist \[ \varphi(z)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{izx}dF(x) \] die charakteristische Funktion des zugehörigen Gesetzes der Wahrscheinlichkeit. Man betrachte dasjenige Gesetz, bei dem \[ \psi(z)=\log\varphi(z)=-|z|^{\alpha} \] ist. Für \(\alpha = 2\) hat man das Gaußsche Gesetz vor sich; \(\alpha=1\) ist von Cauchy untersucht worden; bei ganz beliebigen \(\alpha\leq 2\) ist zuerst die Existenzfrage für \(F(x)\) zu klären, umsomehr als bei \(\alpha > 2\) jene Existenz verneint werden muß. Nun kann man, mit Hilfe der gebrochenen Ableitungen \(\alpha\)-ter Ordnung von \(e^{iz}\), unschwer Ausdrücke für \(F(x)\) aussetzen, bei denen \[ \psi(z) = - |z|^{\alpha}\cdot(1+\varepsilon(z)),\quad \varepsilon(z)\to 0 \;\text{für} \;z\to 0 \] ausfällt; wenn \(n\) Variable einem solchen Gesetz entsprechen, so hat man für ihre Summe \(\times n^{-\tfrac 1\alpha}\): \[ \psi(z)=-|z|^{\alpha} \left(1+\varepsilon^{\left(n^{-\tfrac1\alpha} z\right)}\right). \] Für \(n\to\infty\) läßt sich dann die gleichmäßige Konvergenz der zugehörigen \(F(x)\) gegen eine Grenzfunktion als Lösung des Problems tatsächlich nachweisen.