Sur les lois stables en calcul des probabilités. (Q1460677)

Ein Wahrscheinlichkeitsgesetz möge stabil heißen, wenn für zwei diesem Gesetze gehorchende Variable \(x_1, x_2\) auch \(a_1x_1+a_2a_2\) (\(a_1, a_2\) konstant), dividiert durch eine passende Funktion von \(a_1\) und \(a_2\), das gleiche Gesetz befolgt. Nachdem Verf. (vgl. das vorstehende Ref.) gezeigt hat, daß ein symmetrisches stabiles Gesetz mit \[ \psi(z)=\log\varphi(z)=-|z|^{\alpha},\quad 0<\alpha<2 \] existiert \(-\varphi(z)\) ist die charakteristische Funktion, die den wahrscheinlichen Wert von \(e^{izx}\) angibt --, fragt er jetzt nach der Existenz eines unsymmetrischen Gesetzes dieser Art mit \[ \psi(z)=-(a+bi\operatorname{sgn} z)|z|^{\alpha}. \] Wieder läßt sich ein analoges Gesetz, mit dem Zusatzfaktor \(\varepsilon(z)\), \(\varepsilon(z) \to 0\), für \(z\to 0\), durch passende Wahl einer Wahrscheinlichkeitsfunktion \(F(x)\) explizit erhalten, und die Koppelung beliebig vieler unabhängiger Variablen \(x_1, \ldots, x_n\) führt für \(n\to\infty\) zu einer Lösung des Problems. Bei dieser Gelegenheit werden nebenbei an sich interessante Momentengleichungen gefunden, z. B.: \[ \int_0^{\infty} z^{2h}\cos\left(xz-z^{\alpha} \operatorname{tg}\frac{\pi}2\alpha\right)e^{-z^{\alpha}}dz=0; \] \[ (x\leq 0; \quad h=0,1,2,\ldots). \]