Herleitung des Gaußschen Fehlergesetzes aus einer Funktionalgleichung. (Q1460678)

Wie der Verf. bereits bei einer früheren Gelegenheit bemerkt hat, ist das Gaußsche Fehlergesetz durch die Invarianz gegenüber linearen Fehlerkombinationen ausgezeichnet und durch diese Eigenschaft vollständig bestimmt, wenn außerdem ein hinreichend starkes Verschwinden im Unendlichen gefordert wird. Jedes Fehlergesetz \(\psi(x)\) erfüllt die Bedingungen \[ 0\leq \varphi(x), \quad \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)dx=1; \tag{\text{I a}} \] soll es eine endliche Streuung besitzen, so tritt die Bedingung hinzu, daß das Integral \[ \int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)x^2dx=\sigma^2 \tag{\text{II}} \] existiert. Weiter sei \[ \begin{cases} \varphi(x) \;\text{in jedem endlichen Intervalle beschränkt und im Riemann-}\\ \text{schen Sinne eigentlich integrabel.} \end{cases} \tag{\text{III}} \] Sind jetzt \(a, b, c\) positive Zahlen: \[ 0<a,\quad 0<b,\quad 0<c, \tag{\text{I b}} \] dann läßt sich die Invarianzeigenschaft bei linearer Fehlerkombination durch die Funktionalgleichung \[ \frac1c\varphi\left(\frac xc\right)=\frac 1{ab} \int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(\frac ua\right) \varphi\left(\frac{x-u}b\right)du \tag{\text{IV}} \] ausdrucken. Es wird nun nachgewiesen, daß diese Funktionalgleichung mit den Nebenbedingungen (I a, b) (II) und (III) das Gaußische Fehlergesetz als einzige Lösung besitzt, und daß die Beziehung \(c^2 = a^2 + b^2\) besteht. Die schon von Cauchy betrachtete Lösung von (IV) \[ \varphi(x)=\frac1\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^N}\cos xtdt,\quad (c^N=a^N+b^N) \] liefert für \(N=2\) wieder das Gaußsche Gesetz, genügt aber für \(N\neq 2\) nicht den sämtlichen Nebenbedingungen; sie nimmt insbesondere für \(2 < N\) auch negative Werte an, während für \(N<2\) keine endliche Streuung vorhanden ist.