On the law of frequency of error. (Q1460686)

A. Für die Fehlerfunktion \(\varphi(x)\) gelte: 1. \(\varphi(x)\) ist mindestens einmal stetig differentiierbar; 2. der wahrscheinlichste Wert \(x=F(x_1,\ldots, x_n)\) einer \(n\)-mal gemessenen Große ist von der Wahl der Einheit unabhängig; 3. \(\varphi(x-x_1)\ldots\varphi(x-x_n)= \operatorname{Max.}\); alsdann hat man notwendig: \[ \varGamma\left(\frac1m\right)\varphi(x)= mhe^{-h^m}|x|^m,\quad h>0,\quad m>0. \] B. Für die Herleitung des Gaußschen Gesetzes (mit \(m=1\)) genügen bekanntlich die drei Schiaparellischen Axiome: \(1^*\)) \(F(x_1+l,\ldots, x_n+l)=F(x_1,\ldots, x_n)+l\); \(2^*=2\)) \(F(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n)=\alpha F(x_1,\ldots, x_n)\); \(3^*\)) \(F(x_1+l, x_2,\ldots, x_n) = F(x_1, x_2+l,\ldots, x_n)= F(x_1,x_2,\ldots, x_n+l)\). Die Ferrerosche Behauptung, daß \(3^*\)) bereits aus \(1^*\)) und \(2^*\)) folgt, wird als falsch nachgewiesen. C. Wird zu 1) und 2) als weitere Bedingung noch \(3^*\)) hinzugenommen, so erhält man ebenfalls das Gaußsche Fehlergesetz. Nun wird am Falle der Logarithmentafel gezeigt, daß dort z. B. \(m=\dfrac{10}7\) bessere Resultate ergibt als \(m=1\); dabei wird aber (mit Poincaré u. a.) die Wahrscheinlichkeit für eine letztstellige Null, als ob sie gesetzlos wäre, einfach gleich \(\dfrac 1{10}\) gesetzt, was eben direkt falsch ist (Franel; vgl. F. d. M. 46, 1431 (JFM 46.1431.*)).