Zur analytischen Darstellung zweigipfliger Verteilungskurven. (Q1460687)

Das Gaußsche Fehlergesetz operiert bekanntlich mit einem praktisch oft ganz irrealen unbeschränkten Variationsbereich. Hier wird nun für die Fehlervariable \(x\) eine neue Variable \(\omega\) in einem endlichen Intervall \(- a \leq\omega\leq a\) eingeführt, indem \(x=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}2\dfrac{\omega}a\) gesetzt wird. Die Verteilungsfunktion lautet dann, mit der üblichen Bedeutung von \(h\): \[ \psi(\omega)=\frac{h\sqrt{\pi}}{2a}\left(1+\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}2\frac{\omega}a\right) e^{-h^2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}2\frac{\omega}a}. \] Für \(\dfrac{h\sqrt{\pi}}2< 0,886227\) erhält man so selbst bei homogenem Beobachtungsmaterial eine zweigipflige symmetrische Kurve mit einem Minimum für \(\omega=0\); im Grenzfalle ergeben die drei Extrema ein einziges Maximum, das auch für größere h verbleibt, während dann die beiden Maxima des Hauptfalles imaginär werden.