Über die Variationsbreite einer Beobachtungsreihe. (Q1460700)

Der Verf. leitet für den Erwartungswert \(\bar v\) der Variationsbreite, d. h. der Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten von \(n\) empirisch gegebenen Werten, die Integraldarstellung \[ \bar v=\int_{-\infty}^\infty x\,d[W^n(x)+(1-W(x))^n] \] her; dabei bedeutet \(W(x)\) die Wahrscheinlichkeit, daß das von Zufall abhängige Ergebnis einer Beobachtung die Zahl \(x\) nicht übertrifft. Besitzt \(W(x)\) weiter die Eigenschaften \[ \int_{-\infty}^\infty|x|W(x)\,dx=a<\infty \] und \[ \lim_{x=+\infty}\frac{1-W(x+\xi)}{1-W(x)}=0\text{ für }0<\xi, \] so nähert sich, wenn unter \(x_n\) die Lösung der Gleichung \[ W(x_n)=1-\frac1n \] verstanden wird, bei großem \(n\) der größte Beobachtungswert der Zahl \(x_n\) mit einer der Eins nahekommenden Wahrscheinlichkeit. Da die Gaußsche Verteilung \[ W(x)=\tfrac12(1+\varPhi(hx)),\quad \text{[\(\varPhi(z)\) daß Gaußsche Fehlerintegral]} \] die geforderten Eigenschaften besitzt, erhält man hier für die naherungsweise Bestimmung der Variationsbreite die einfachen Rechenvorschriften: \[ \varPhi(z)=1-\frac2n,\quad \bar v=2\sqrt2\mu z,\quad \text{[\(\mu\) der mittlere Fehler];} \] der so ermittelte Näherungswert übertrifft den genauen Wert von \(\bar v\) \[ \begin{matrix} \l&\;\r&\quad \r&\quad \l\\ \text{bei}&n = 10^3,&10^4,&\,10^5\\ \text{um} & 4,6,&3,4,&2,6\%. \end{matrix} \]