Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. Teil II. Sätze höheren Grades. (Q1460790)

Die im Teil I (Math. Ann. 87, 246-269, 1922; F. d. M. 48, 1117 (JFM 48.1117.*)) ausgeführte Untersuchung betreffend Sätze von der Form \(a\to b\), wird auf Sätze des allgemeineren Typus \[ (a_1a_2\cdots a_n) \to b \] -- zu lesen: ``wenn \(a_1\) und \(a_2\) und \(\cdots\) und \(a_n\), so \(b\)'' -ausgedehnt. An die Stelle des einfachen Kettenschlusses \[ \vbox{\halign{\tabskip0pt\hfil\(#\)\hfil\cr a\to b\cr b\to c\cr \noalign{\vskip0.8ex\hrule\vskip0.8ex} a\to c\cr}} \] tritt hier das allgemeinere Schema des ``Syllogismus'' \[ \vbox{\halign{\tabskip0pt#\kern3em\hfil&\hfil#&#\hfil&\kern1.5em#\hfil\cr I. &\(\begin{cases} (a_1^1a_2^1\ldots)\to b_1\\ (a_1^2a_2^2\ldots)\to b_2\\ \noalign{\vskip-0.7ex} \dotfill \end{cases}\)\kern-0.2em &&(``Unters\"atze'')\cr II. &\((b_1b_2\ldots c_1c_2 \ldots)\to d\) &&(``Obersatz'')\cr \noalign{\vskip-1.3ex} &\multispan3\hrulefill\cr \noalign{\vskip0.5ex} III. &\multispan2\(\begin{pmatrix} a_1^1a_2^1\dotfill\\ \noalign{\vskip0.3ex} a_1^2a_2^2\ldots c_1c_2\ldots\\ \noalign{\vskip-0.4ex} \dotfill \end{pmatrix} \to d\)\hfill &(``Schlu{\ss}satz'').\cr}} \] Zu dem Syllogismus tritt noch hinzu der unmittelbare Schluß, bestehend in dem Übergang von einem Satz \((a_1\ldots a_n\to b\) zu einem Satz \((a_1\ldots a_nc)\to b\). Das Ziel ist wiederum, ein Kriterium dafür zu gewinnen, daß zu einem abgeschlossenen Satzsystem, d. h. einem solchen System von Sätzen der betrachteten Art, das durch Anwendung der ``Schlüsse'' nicht mehr erweitert werden kann, verschiedene Systeme von unabhängigen Axiomen existieren. (Als Axiomensystem eines Satzsystems wird ein Teilsystem bezeichnet, aus dem das ganze System durch Anwendung von Schlüssen gewonnen werden kann.) Als ein solches notwendiges Kriterium für das Vorhandensein verschiedener unabhängiger Axiomensysteme ergibt sich die Existenz eines zu dem Satzsystem gehörigen ``Zyklus'', bestehend aus einer Reihe von Sätzen folgender Art: \[ (a_1^i a_2^i \ldots e_i) = e_{i+1}\qquad (i=1,\ldots,n), \] wobei \(e_{n+1}=e_1\). An den Begriff eines aus Schlüssen gebildeten Beweises knüpft sich der Begriff des Schlußsystems, dessen Einführung der bei Hilbert (Math. Ann. 88, 151-165,1922; F. d. M. 48, 1120 (JFM 48.1120.*)) vorkommenden Auflösung einer Beweisfigur in Fäden entspricht. Die Beweise lassen sich, wie der Verf. zeigt, stets auf die Form eines Normalbeweises bringen, d. h. eines solchen Beweises, bei dem alle Obersätze entweder tautologisch, d. h. von der Form \(a\to a\), oder Axiome sind. (Die tautologischen Sätze treten auch in der Rolle von Axiomen auf.) Auf dem Wege zu diesem Resultat werden verschiedene Begriffsbildungen und Theoreme entwickelt, insbesondere spielt der Begriff der ``Abundanz'' eine Rolle. Als abundant wird ein solcher Satz des Systems bezeichnet, der aus einem anderen Satz des Systems durch unmittelbaren Schluß gewonnen werden kann. Verf. beweist, daß in dem Beweise eines nicht abundanten Satzes aus einem System von nichtabundanten Axiomen überhaupt das Auftreten abundanter Sätze vermieden werden kann. - Die Betrachtung von Hertz hat insofern eine prinzipielle logische Bedeutung, als sie den Bereich aller derjenigen Schlüsse umfaßt, die sich im Rahmen der rein positiven, auf der Folgebeziehung und der Konjunktion aufgebauten Aussagenlogik bei Vermeidung einer Vermischung der Urteilsstufen vollziehen. Dieser in der aristotelischen Logik sich deutlich heraushebende Bereich ist im heutigen Logikkalkül zumeist unbeachtet geblieben.