Sur l'intégration des différentielles totales rationelles. (Q1460823)

Es sei das totale Differential \(dz=Pdx+Qdy\) gegeben; die beiden Koeffizienten seien eindeutig, analytisch, im Nullpunkt regulär. Das Integral sei auf geradlinigem Wege durch \(z=\int\limits_{(0,0)}(Pdx+Qdy)\) bestimmt; setzt man hier \(x=x_0t\), \(y=y_0t\), worin \(t\) von 0 bis 1 laufen soll, so hat man demnach (ohne 0-Index): \[ z=\int_0^1\varphi(t)dt,\quad \varphi(t)=xP(xt,yt)+yQ(xt,yt).\tag{1} \] Alle Residuen von \(\varphi(t)\) erweisen sich als von \(x\) und \(y\) unabhängig. Sind aber \(P\) und \(Q\) insbesondere rational in \(x\), \(y\), so stellt es sich heraus, daß daraufhin nicht einmal die zu erwartende Notwendigkeit der Auflösung einer algebraischen Gleichung für die Ausführung der Quadraten in (1) gegeben ist, vielmehr das Resultat auch für die logarithmischen Glieder rational ermittelt werden kann; heißt die Nennerfunktion \(F_m(t)={}\)Polynom \(m\)-ten Grades in \(t\) und ist sie irreduzibel (in \(x,y\)), so muß nämlich der log-Teil des Integrals einfach gleich \(c\log F_m(t)\) werden; im reduziblen Falle \(F_m(t)=\prod F_{m_k}(t)\) erhält man ebenso \(\sum c_k\log F_{m_k}(t)\); die Konstanten \(c\), \(c_k\) sind jeweilig explizit angebbar. Eine Übertragung auf höhere Dimensionen ist möglich, ebenso eine solche auf vollständige Differentiale zweiter Ordnung. Auch eine Umkehrung des oben gegebenen Residenzsatzes verdient Interesse: Sind die Residuen einer meromorphen Funktion \(p(x)=P(x,y)\) von \(y\) unabhängig, so läßt sich \(dz=Pdx+Qdy\) mit einem meromorphen \(Q\) bilden; ist \(P\) rational, so kann auch \(Q\) rational gewählt werden.