Sur les fonctions quasi-analytiques. (Q1460828)

Die analytische Natur von reellen Funktionen \(f(x)\), die im Intervall \((a,b)\) mit allen ihren Ableitungen stetig sind, läßt sich charakterisieren durch den Grad des Anwachsens der Maximalbeträge ihrer Ableitungen für das gegebene Intervall. Rechnet man die Funktionen \(f(x)\) zu derselben Klasse \(C_M(M_0,M_1,\dots)\), wenn für jede mit einem passenden \(k\) die Ungleichungen \[ |f^{(n)}(x)|<k^nM_n\qquad (n=0,1,2,\dots) \] bestehen, so gilt bekanntlich der folgende, im wesentlichen von Denjoy herrührende Satz des Verf.: Zwei zu derselben Klasse \(C_M\) gehörende Funktionen \(f_1(x)\) und \(f_2(x)\), für welche \(\sum\limits_0^\infty{}_nM_n^{-\frac1n}\) divergiert, stimmen im ganzen Intervall \((a,b)\) überein, wenn sie nur an einer einzigen Stelle mit allen ihren Ableitungen einander gleich sind. Diesen Satz und seine von Borel vermutete Verallgemeinerung beweist der Verf. diesmal (vgl. F. d. M. 48, 295 (JFM 48.0295.*), 1922) mit Hilfe der Stieltjesschen Theorie der Kettenbrüche. Er zeigt zunächst: 1. Ein mit einer im allgemeinen divergenten Potenzreihe \[ \frac{c_0}z-\frac{c_1}{z^2}+\frac{c_2}{z^3}-\cdots \] korrespondierender Stieltjessche Kettenbruch ist für nicht reelle \(z\) notwendig konvergent, d. h. das Stieltjessche Momentenproblem ist bestimmt, wenn die Reihe \(\sum\limits_1^\infty\nu\dfrac1{\root{2\nu}\of{c_\nu}}\) divergiert. 2. Bezeichnet \(f(z)\) eine Funktion, die mit allen ihren Ableitungen für \(0\leqq x\leqq 1\) stetig ist und für \(x=0\) und \(x=1\) verschwindet, dann ist das Momentenproblem \[ \int_0^\infty x^\nu\,d\psi(x)=m^2_\nu,\quad(\nu=0,1,2,\dots),\qquad m^2_\nu=\int_0^1(f^{(\nu)}(x))^2\,dx,\tag{I} \] unbestimmt, d. h. die Kettenbruchentwicklung von \[ \frac{m_0^2}z-\frac{m_1^2}{z^2}+\frac{m_2^2}{z^3}-\cdots \] divergiert; es konvergiert daher die Summe \(\sum\limits_0^\infty n\dfrac1{\root n\of{m_n}}\). 3. Wäre nun die Differenz \(f_1(x)-f_2(x)=F(x)\) nicht identisch Null, so hätte die Funktion \[ f(x)=F(b-4(b-a)(x-\tfrac12)^2) \] die charakteristischen Merkmale der in 2. vorausgesetzten Funktion \(f(x)\). Bilden wir also die zugehörigen \(m_\nu\), so ist die Reihe \(\sum\limits_0^\infty n\dfrac1{\root n\of{m_n}}\) konvergent. Da aber \(f\) wie \(f_1\) und \(f_2\) zur Klasse \(C_M\) gehört, folgt wegen (I) aus der vorausgesetzten Divergenz von \(\sum\limits_0^\infty n\dfrac1{\root n\of{M_n}}\), daß auch \(\sum\limits_0^\infty n\dfrac1{\root n\of{m_n}}\) divergiert, woraus die Behauptung folgt. Zum Schluß gewinnt der Verf. folgenden Satz: Bezeichnet \(f(x)\) eine mit ihren \(n\) ersten Ableitungen im Intervall \((0,1)\) stetige, nicht identisch verschwindende Funktion, für welche \(f^{(\nu)}(0)=f^{(\nu)}(1)=0\) (\(\nu=0,1, \ldots,n-1\)) ist, so gilt mit einer von \(f(x)\) und \(n\) unabhängigen Konstante \(K\) die Ungleichung \[ \sum_1^\infty \nu\frac1{\root\nu\of{m_\nu}}<K\left(1+\frac1{m_1}\right). \] Hieraus ergibt sich dann der von Borel vermutete Satz.