Sur une question de probabilité. (Q1460881)

Es sei \(f(x)dx\) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß im Intervall \((x,x+dx)\) auf einer Geraden mit den Abszissen \(x\geqq 0\) mindestens ein materieller Punkt liegt. Die Wahrscheinlichkeit \(P_n\), daß dann auf \((0,x)\) sich genau \(n\) solcher Punkte befinden, ist gegeben durch \[ P_n=e^{-P}\cdot\frac{P^n}{n!},\qquad P=\int_0^x f(x)\,dx, \] womit ein Borelsches Resultat \([f(x)=1]\) verallgemeinert wird. Die Formel gilt auch für mehrere Dimensionen; \(P\) ist dabei stets gleich der wahrscheinlichen Anzahl der materiellen Punkte im betrachteten (von 0 ausgehenden) Volumen.