On a special polyadic of order \(n-p\) which can be derived from any \(p\) independent vectors in a \(n\)-dimensional space and which can be regarded as a generalization of the vector product. (Q1460933)

Es sei \(\mathfrak e_1\), \(\mathfrak e_2\), \(\ldots\), \(\mathfrak e_n\) ein System von \(n\) orthogonalen Einheitsvektoren, ferner \[ \mathfrak a_\lambda= \sum_{i=1}^n a_{\lambda i}\mathfrak e_i \quad (\lambda = 1,\,2,\,\ldots,\,p) \] \(p\) linear unabhängige Vektoren des \(n\)-dimensionalen Raumes. Die in Frage stehende Verallgemeinerung des gewohnlichen Vektorproduktes ist dann folgende Determinante \[ \begin{vmatrix} \mathfrak e_1 &\mathfrak e_2 &\cdots &\mathfrak e_n\\ \cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\ \mathfrak e_1 &\mathfrak e_2 &\cdots &\mathfrak e_n \\ a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\ a_{p1} &a_{p2} &\cdots &a_{pn} \end{vmatrix}, \] deren \(n - p\) erste Zeilen die Einheitsvektoren sind; darin sind die Vektoren der \(n - p\) ersten Zeilen unbestimmt im Sinne eines polyadischen Produktes zu multiplizieren (so daß also das Vertauschbarkeitsgesetz \textit{nicht} gilt), und die Entwicklung der Determinante ist am einfachsten nach den Determinanten der \(n - p\) ersten Zeilen vorzunehmen, so daß ein Tensor \((n - p)\)-ter Ordnung entsteht. Für \(p = n\) wird ein Skalar, für \(p = n - 1\) ein Vektor erhalten, der im Falle \(n = 3\) mit dem gewöhnlichen Vektorprodukt übereinstimmt. Die Eigenschaften dieser Determinante, ihre Invarianz gegenüber orthogonalen Transformationen der \(\mathfrak e_1\), \(\mathfrak e_2\), \(\ldots\), \(\mathfrak e_n\) werden untersucht, spezielle Fälle betrachtet, zum Schluß die entsprechenden Verallgemeinerungen der Divergenz und des Rotors aufgestellt.